Kiedy można skracać ułamki, a kiedy nie?

Valiors · Post autor: **Valiors** » 1 sie 2013, o 11:35

Jak wiadomo, nie można skracać ułamków gdy występuje odejmowanie lub dodawanie. Dlaczego zatem można skrócić ułamek \(\displaystyle{ \frac{2a}{2 a^{2} - 2 b^{2} }}\) do postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}\)?

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 1 sie 2013, o 11:40

W mianowniku dwójka wyciągamy przed nawias. Wtedy mamy mnożenie dwóch ułamków z czego jeden jest \(\displaystyle{ \frac{2}{2}}\).

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 1 sie 2013, o 14:46

\(\displaystyle{ \frac{2a}{2 a^{2} - 2 b^{2} } = \frac{2\cdot a}{2 \cdot \left(a^2 - b^2 \right)} = \frac{2}{2} \cdot \frac{a}{a^2 - b^2} = \frac{a}{a^2 - b^2}}\)

gildon · Post autor: **gildon** » 1 sie 2013, o 18:47

Valiors pisze:Jak wiadomo, nie można skracać ułamków gdy występuje odejmowanie lub dodawanie. Dlaczego zatem można skrócić ułamek \(\displaystyle{ \frac{2a}{2 a^{2} - 2 b^{2} }}\) do postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}\)?

Nauczyciele tak mówią, aby przed poznaniem właśnie tej własności uczniowie nie robili:
\(\displaystyle{ \frac{2a}{2a-b}= \frac{a}{a-b}}\)
Ponieważ jest to błąd, a większość uczniów w moim wieku i wcześniej nie umie tego zrozumieć
W ten sposób nauczyciele chronią nas przed błędami do pewnego poziomu edukacji

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 1 sie 2013, o 22:19

Hmm... Valiors, uzmysłów sobie na początku, że skracanie ułamków polega na dzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Liczba ta jest przy okazji wspólnym czynnikiem licznika i mianownika. Aby znaleźć wspólne czynniki dwóch liczb, trzeba je obie rozłożyć na czynniki. Pamiętasz chyba, jak to się robi?
Nieskracalne są tylko ułamki, w których licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi. A odpowiedź na pytanie, co to są liczby względnie pierwsze, znajdziesz tu: