-----
OK, informacja dla czytających pierwszy raz: oryginalne zadanie rozwiązane, ale zmieniam polecenie na następujące.
Jakim wzorem wyraża się współczynnik przy \(\displaystyle{ k^n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN_0}\) w rozwinięciu wyrażenia:
\(\displaystyle{ k^k\left( k+2\right)^{k+1} - \left( k+1\right)^{2k+1}}\)
??
-----
Majeskas, dzięki, tak przeczuwałem, że da się z nierówności między średnimi, ale mimo wszystko chętnie poznałbym sposób rozwijania takich wyrażeń i obliczania współczynnika przy dowolnej potędze
\(\displaystyle{ k}\).
kinia7, dzięki za czujność! Wychodzi na to, że prawa strona jest średnią geometryczną, a lewa — harmoniczną tych samych liczb.
a4karo,
a4karo pisze:Można również wykorzystać znany fakt, że ciąg \(\displaystyle{ a_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}\) jest rosnący.
Dana nierówność jest równoważna takiej: \(\displaystyle{ a_k<a_{k+1}}\).
Tak, tak, twoja intuicja matematyczna dobrze ci wskazuje, to jest część mojego dowodu indukcyjnego, że
\(\displaystyle{ 2 \le a_k}\). Więc w tym wypadku raczej nie mogę tego znanego faktu, że
\(\displaystyle{ a_k < a_{k+1}}\) wykorzystać
a4karo pisze:PS. spojrzałem na podpis
vprof i na tekst
vprof pisze:Mam takie wyrażenie, które jest w zasadzie wielomianem, czy raczej szeregiem, nieważne:
i nasunęła mi się taka uwaga:
Znajomość terminów matematycznych nie zwalnia od poprawnego ich stosowania.
- przez 2 „p”, jeśli mogę prosić
- Jaką zatem nazwę na to wyrażenie z pierwszego posta uważasz za słuszną?