1\(\displaystyle{ a,b,c R_+}\) oraz \(\displaystyle{ abc(a+b+c)=1}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (a+b)(a+c) qslant 2}\)
2\(\displaystyle{ a,b,c,d R_+}\) oraz \(\displaystyle{ a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}+d^{2008}=2008}\) Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a^{499}+b^{501}+c^{503}+d^{505}}\)
Dwie nierówności
-
wjzz
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 18 razy
Dwie nierówności
1\(\displaystyle{ a,b,c R_+}\) oraz \(\displaystyle{ abc(a+b+c)=1}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (a+b)(a+c) qslant 2}\)
Działamy w liczbach dodatnich, więc \(\displaystyle{ abc(a+b+c)=1 a(a+b+c) = \frac{1}{bc}}\)
Mamy: \(\displaystyle{ (a+b)(a+c) = a^2 + ac + ab + bc = a(a+b+c) + bc = \frac{1}{bc} + bc qslant 2}\), przy czym ostatnie przejście wynika z
Lemat. Jeśli \(\displaystyle{ x R_+}\) to \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x} qslant 2}\).
Dowód. Prawdą jest \(\displaystyle{ ( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 qslant 0}\). Czyli \(\displaystyle{ (\sqrt{x}) ^ 2 - 2 \sqrt{x} \frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 qslant 0}\). To jest równoważne \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x} qslant 2}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(a+c) qslant 2}\)
Działamy w liczbach dodatnich, więc \(\displaystyle{ abc(a+b+c)=1 a(a+b+c) = \frac{1}{bc}}\)
Mamy: \(\displaystyle{ (a+b)(a+c) = a^2 + ac + ab + bc = a(a+b+c) + bc = \frac{1}{bc} + bc qslant 2}\), przy czym ostatnie przejście wynika z
Lemat. Jeśli \(\displaystyle{ x R_+}\) to \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x} qslant 2}\).
Dowód. Prawdą jest \(\displaystyle{ ( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 qslant 0}\). Czyli \(\displaystyle{ (\sqrt{x}) ^ 2 - 2 \sqrt{x} \frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 qslant 0}\). To jest równoważne \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x} qslant 2}\)