Dowody z pierwiastkami i potęgami

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
ZaxHunter
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 22 sty 2013, o 21:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 12 razy

Dowody z pierwiastkami i potęgami

Post autor: ZaxHunter »

Mam kłopot z dwoma zadaniami dowodowymi. Może ktoś wie jak je rozwiązać?

1) Udowodnij, że jeśli:
\(\displaystyle{
\sqrt{ x^2+ \sqrt[3]{x^4y^2} }+\sqrt{ y^2+ \sqrt[3]{y^4x^2} }=a
}\)

to:
\(\displaystyle{
\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}
}\)


2) Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ ax^3=by^3=cz^3}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1}\)
to
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}= \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31490
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4992 razy

Re: Dowody z pierwiastkami i potęgami

Post autor: Jan Kraszewski »

Ad 1 Musisz policzyć \(\displaystyle{ a^2}\) i trochę poprzekształcać.

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3696
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 1265 razy

Re: Dowody z pierwiastkami i potęgami

Post autor: Janusz Tracz »

W pierwszym można nie liczyć \(\displaystyle{ a^2}\). Aby to jakoś zgrupować można wyciągnąć \(\displaystyle{ x^{4/3}}\) oraz \(\displaystyle{ y^{4/3}}\) co daje
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{4/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)}+\sqrt{y^{4/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)}=a}\)
i dalej samo idzie w stronę rozwiązania.


Co do drugiego zadania to oznacz wspólną wartość \(\displaystyle{ ax^3,by^3,cz^3}\) jakąś literką. Wyznacz \(\displaystyle{ a,b,c}\) w zależności od tej literki, wstaw do prawej strony i trzymaj kciuki aby się uprosiło pamiętając o założeniu.
ODPOWIEDZ