dowód nierówności o 2 zmiennych

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 389
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 214 razy

dowód nierówności o 2 zmiennych

Post autor: poetaopole »

Udowodnij, że dla dodatnich a i b zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{a ^{4}+b ^{4} }{ab} \ge \frac{(a+b) ^{2} }{2} }\). Najfajniej bez nierówności pomiędzy średnimi.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: dowód nierówności o 2 zmiennych

Post autor: a4karo »

załóżmy, że `a\le b` i niech
\(\displaystyle{ c=\frac{a+b}{2},\quad t=\frac{b-a}{2}}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{a^4+b^4}{ab}=\frac{(c-t)^2+(c+t)^2}{(c-t)(c+t)}=2\frac{c^4+6c^2t^2+t^4}{c^2-t^2}\ge 2c^2=\frac{(a+b)^2}{2}}\)

Nierówność bierze się stąd, że lewa strona jest funkcją rosnącą zmiennej `t` (licznik rośnie, mianownik maleje), więc najmniejszą wartość przyjmuje dla `t=0`
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 389
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 214 razy

Re: dowód nierówności o 2 zmiennych

Post autor: poetaopole »

Czego to ludzie nie wymyślą :) Dziękuję
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: dowód nierówności o 2 zmiennych

Post autor: a4karo »

:) Można też dłuuuugo wpatrywać się w tę nierówność. A jak już się napatrzysz, to zobaczysz, że
\(\displaystyle{ \frac{a^4+b^4}{ab}=\frac{(a+b)^2}{2}+\frac{(a-b)^2(2a^2+3ab+2b^2)}{2ab},}\)
i już.

Miłego patrzenia :mrgreen:
badmor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 26 mar 2005, o 13:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Nienacka
Pomógł: 3 razy

Re: dowód nierówności o 2 zmiennych

Post autor: badmor »

Można też dojść do nierówności z poprzedniego postu nieco rachując:
$$\frac{a^4+b^4}{ab}-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2a^4+2b^4-ab(a+b)^2}{2ab}=\frac{2a^4+2b^4-a^3b-2a^2b^2-ab^3}{2ab}=$$
$$=\frac{a^4+b^4+(a^2-b^2)^2+a^4-a^3b-ab^3+b^4}{2ab}=\frac{a^4+b^4+(a^2-b^2)^2+a^3(a-b)-b^3(a-b)}{2ab}=$$
$$=\frac{a^4+b^4+(a^2-b^2)^2+(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{2ab} \ge 0,$$
a to dla dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest prawdą, więc kończy to dowód nierówności.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: dowód nierówności o 2 zmiennych

Post autor: Premislav »

WLOG \(\displaystyle{ a\ge b}\) i najpierw pomnóżmy stronami przez dodatnie \(\displaystyle{ ab}\), a następnie podzielmy stronami przez \(\displaystyle{ a^4}\) i podstawmy \(\displaystyle{ t=\frac b a}\). Mamy do wykazania nierówność
\(\displaystyle{ 1+t^4\ge \frac t 2(1+t)^2}\) dla \(\displaystyle{ 0<t\le 1}\). To już można skończyć na wiele sposobów, np. licząc pochodną różnicy obu stron po \(\displaystyle{ t}\), ale bardziej efektownie wygląda podzielenie różnicy obu stron z resztą przez \(\displaystyle{ (t-1)^2}\).

Dodano po 8 minutach 47 sekundach:
A tak wogle (proszę nie poprawiać, to stylizacja wypowiedzi) to można udowodnić tę nierówność bez średnich, ale za to z nierówności Cauchy'ego-Schwarza.
\(\displaystyle{ \left(a^2+b^2\right)\left(b^2+a^2\right)\ge (ab+ba)^2=4(ab)^2\\\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge (a+b)^2.}\)
Pierwiastkujemy stronami tę pierwszą nierówność, otrzymaną w ten sposób nierówność i drugą z wyżej napisanych mnożymy stronami, co daje nam
\(\displaystyle{ 2\left(a^2+b^2\right)^2\ge 2ab(a+b)^2}\), czyli \(\displaystyle{ \left(a^2+b^2\right)^2\ge ab(a+b)^2}\) i by dociągnąć to do końca, wystarczy jeszcze jedno użycie Cauchy'ego-Schwarza:
\(\displaystyle{ \left(1^2+1^2\right)\left(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right)\ge \left(a^2+b^2\right)^2}\).
ODPOWIEDZ