Matematyka.pl

Jak udowodnić, że to wyrażenie jest liczbą całkowitą?

\(\displaystyle{ \sqrt{ 29 - 12 \cdot \sqrt{ 5}} - \sqrt{ 29 + 12 \cdot \sqrt{ 5}}}\)

mamy :

\(\displaystyle{ \sqrt { 29 - 12 \sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{20} - 3)^2} = \sqrt{20} - 3 \\
\sqrt{29 + 12\sqrt{5}} = \sqrt{20} + 3}\)


czyli
szukana liczba jest rowna -6 co jest całkowite

Nie rozumiem, skąd to się wszystko wzięło... tłumok jestem... :]

wzielo sie stad ze \(\displaystyle{ 29 - 12\sqrt{5} = 20 - 12\sqrt{5} + 9 = ( \sqrt{20} - \sqrt{9})^2}\), czyli ze wzoru skroconego mnozenia.

Hmm... Tylko że \(\displaystyle{ \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}}\) można rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia na dwa sposoby: Pierwszy to ten, który podałeś, a drugi jest taki:

\(\displaystyle{ \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 20 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{9 + 20 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{20} + \sqrt{20}^2} = \sqrt{(3 - \sqrt{20})^2}}\)

Jeśli teraz, idąc za Twoim tokiem rozumowania, zostanie nam z tego \(\displaystyle{ 3 - \sqrt{20}}\), to po podstawieniu do oryginalnego równania dostaniemy ostatecznie:

\(\displaystyle{ x = 3 - \sqrt{20} - (\sqrt{20} + 3) = 3 - \sqrt{20} - \sqrt{20} - 3 = -2\sqrt{20} = -4\sqrt{5}}\)

czego nie da się już bardziej uprościć do żadnej liczby całkowitej Więc jak to jest, że zależnie od tego, w jakiej kolejności napiszę sobie składniki we wzorze skróconego mnożenia, raz otrzymuję wynik całkowity, a innym razem nawet nie wymierny? To by znaczyło, że to zadanie ma dwa różne rozwiązania.

Oczywiście mnie to nie dziwi, bo pierwiastek kwadratowy ma zawsze dwa rozwiązania (dodatnie i ujemne), więc teoretycznie powinniśmy oba brać pod uwagę, a nie wybierać sobie tylko jedno, które nam pasuje, a drugiego udawać że nie ma. Tylko co ma zrobić uczeń w szkole czy na maturze, dostając takie zadanie? Jeśli każą mu udowodnić, że to jest (albo że nie jest) liczba całkowita, to ma odpowiedzieć "Tak"? "Nie"? "Tak, ale zarazem nie"? Czy gdy odpowie "Jestem za, a nawet przeciw" ma szansę zostać prezydentem? ;-J

SasQ pisze:Hmm... Tylko że \(\displaystyle{ \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}}\) można rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia na dwa sposoby: Pierwszy to ten, który podałeś, a drugi jest taki:

\(\displaystyle{ \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 20 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{9 + 20 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{20} + \sqrt{20}^2} = \sqrt{(3 - \sqrt{20})^2}}\)

To jest ten sam sposób...

SasQ pisze:Jeśli teraz, idąc za Twoim tokiem rozumowania, zostanie nam z tego \(\displaystyle{ 3 - \sqrt{20}}\),

Nie rozumiesz tego toku rozumowania. Zostanie \(\displaystyle{ |3 - \sqrt{20}|=\sqrt{20}-3}\) i to jest jedyna możliwość.

SasQ pisze:Oczywiście mnie to nie dziwi, bo pierwiastek kwadratowy ma zawsze dwa rozwiązania (dodatnie i ujemne),

I to też nie jest prawda...

JK

Jan Kraszewski pisze:

SasQ pisze:Hmm... Tylko że \(\displaystyle{ \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}}\) można rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia na dwa sposoby: Pierwszy to ten, który podałeś, a drugi jest taki:

\(\displaystyle{ \sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 20 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{9 + 20 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{20} + \sqrt{20}^2} = \sqrt{(3 - \sqrt{20})^2}}\)

To jest ten sam sposób...

No jak ten sam, skoro daje zupełnie inny wynik? (Z przeciwnym znakiem.) Chyba mi nie powiesz, że \(\displaystyle{ a = -a}\)?

Ja się zgodzę, że kwadrat z reguły usuwa tę wieloznaczność, bo dodatnia czy ujemna podniesiona do kwadratu da zawsze dodatnią. Ale pierwiastek przywraca ten problem, bo znów mamy dwie możliwości.

Jan Kraszewski pisze:

SasQ pisze:Jeśli teraz, idąc za Twoim tokiem rozumowania, zostanie nam z tego \(\displaystyle{ 3 - \sqrt{20}}\),

Nie rozumiesz tego toku rozumowania.

Aha, nie wiedziałem, że siedzisz w mojej głowie i wiesz lepiej ode mnie co rozumiem, a czego nie...

Wiem, jak na forach czy grupach dyskusyjnych studenciki potrafią się "czepiać", gdy zobaczą coś nie tak, jak ich nauczono, choć i tak sami przeważnie nie rozumieją z czego to wynika, tylko stosują coś automatycznie w wyuczony sposób. Dlatego wyraźnie zasugerowałem poprzednim razem, iż wiem o tym, że pierwiastkowanie jest funkcją wielowartościową, i że wiem też o pułapce z modułem (właśnie o nią tu się rozchodzi, i z niej wynika moje pytanie).
Ale nie o to chodzi. Napisałeś, że nie rozumiem, i tyle! Więc co mi z tego, że tak napisałeś? Równie dobrze Ty możesz nie rozumieć, bo poprawnego rozwiązania tego problemu nie podałeś. Twórcze i konstruktywne jak ch**.

Jan Kraszewski pisze:Zostanie \(\displaystyle{ |3 - \sqrt{20}|=\sqrt{20}-3}\) i to jest jedyna możliwość.

Z modułu może i tak, ale nie z pierwiastka. Pierwiastek kwadratowy ma dwie możliwości.
Zauważ, że zmiana kolejności składników we wzorze skróconego mnożenia sprawi, że tutaj pod modułem wyląduje coś zupełnie innego: \(\displaystyle{ \sqrt{20} - 3}\). Czyli (mówiąc jaśniej): \(\displaystyle{ - (3 - \sqrt{20})}\). Pierwiastek kwadratowy daje dwie drogi: dodatnią i ujemną. Którą wybierzesz i dlaczego dodatnią (wrzucając pod moduł), skoro są dwie? Bo wygodniej jest udawać, że ujemne rozwiązania nie istnieją? Matematycy w XVII wieku też udawali, że pewne rozwiązania nie istnieją i co im z tego wyszło to pewnie wiesz. (A może nie?)

Jan Kraszewski pisze:

SasQ pisze:Oczywiście mnie to nie dziwi, bo pierwiastek kwadratowy ma zawsze dwa rozwiązania (dodatnie i ujemne),

I to też nie jest prawda...

Tak mówisz? To ile według Ciebie rozwiązań ma takie równanie?: \(\displaystyle{ x = \sqrt{4}}\)

P.S.: Nie dziwi mnie, że wokół tego tematu są takie niejasności, skoro nawet wielki Euler się na tym przejechał. No ale jak długo można wpadać w te same dołki?

SasQ, To jest forum matematyczne a nie archeologiczne

Ale archeologia...

SasQ pisze: Tak mówisz? To ile według Ciebie rozwiązań ma takie równanie?: \(\displaystyle{ x = \sqrt{4}}\)

Jedno? Właśnie je napisałeś.

SasQ pisze:Wiem, jak na forach czy grupach dyskusyjnych studenciki potrafią się "czepiać", gdy zobaczą coś nie tak, jak ich nauczono, choć i tak sami przeważnie nie rozumieją z czego to wynika, tylko stosują coś automatycznie w wyuczony sposób.

Nie jest grzechem to, że masz braki w matematyce i nie rozumiesz dość podstawowych spraw (takich jak równość \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\) w zbiorze liczb rzeczywistych) - wszak nie każdy musi być orłem z matematyki.

Ale żenujące jest gdy te braki próbujesz zasłaniać arogancją. Więcej pokory, młody człowieku.

Q.

Jedno? Heheh... No to rzeczywiście widzę wszyscy znawcy temat kumają i po co robić wykopaliska... <ironia>

To ciekawe, bo ja znam aż dwa rozwiązania. (Może jestem jakiś "inny"? ;-J ) Oto one:
1. \(\displaystyle{ x = 2}\), bo \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 = 4}\), oraz
2. \(\displaystyle{ x = -2}\), bo \(\displaystyle{ (-2) \cdot (-2) = 4}\) również.

Użycie modułu likwiduje jedno z nich. Czy słusznie? Czy jeśli uczeń wie o istnieniu innych rozwiązań, które przeczą temu, co miał wykazać, to porażka jest jego? (Bo nie mógł wykazać.) Czy tego, kto takie zadanie ułożył? (Również zakładając, że tylko dodatnie się liczą.) O to właśnie pytam.

@Qń:
Mówisz o pokorze, a mimo to Ty jesteś osobą, która zarzuca innym brak wiedzy, niezrozumienie podstaw, czy inne politycznie poprawne nazwy dla "bycia durniem" tylko dlatego, że nie zgadzają się z Tobą i Twoim sposobem myślenia.
Jak już wielokrotnie wspominałem, znam równość, którą podałeś, znam wszystkie te rzeczy, których brak mi się tu zarzuca (i przerabiałem to już wiele razy na różnych grupach i forach, i za każdym razem to samo: zarzucanie braku wiedzy i ciemnoty tylko dlatego, że nie zgadzam się z ogółem). Ale to nie jest jeszcze powód, żebym się z nimi zgadzał, albo nie mógł próbować wykazać błędu, jeśli moim zdaniem tam jest. Mogę sie mylić, jak każdy, ale jeśli z prostego równania, które podałem, można wyciągnąć dwie różne odpowiedzi, to dlaczego mam stosować "żelazne zasady", że tylko jedno z tych rozwiązań się liczy, a drugie mam olać? Tylko dlatego, żeby pierwiastek był funkcją jednowartościową (którą nie jest, i geometria jasno to wskazuje), bo tak jest wygodniej?

OK, może więc zróbmy tak:
Jestem programistą. Języki programowania z reguły są zdefiniowane w dokumentach standaryzacyjnych, które jasno określają, co jest "legalne" w danym języku, a co nie. I w razie jakichś wątpliwości można zarzucić "paragrafem" z takiego standardu, by te wątpliwości rozwiać. Ze Standardem nikt nie dyskutuje, bo jest wyrocznią ostateczną.
Zakładam, że skoro wszyscy tutaj tak gwałtownie toczą pianę na widok tego, co piszę, i zarzucają mi nieznajomość "Prawa", to istnieje gdzieś owo "Prawo" wyryte na jakimś kamieniu, który ostatecznie tę sprawę wyjaśnia. Więc może ktoś łaskawie wskaże mi taki "paragraf" mówiący, że tylko dodatnie pierwiastki się liczą, i dlaczego mam udawać, że \(\displaystyle{ (-2)\cdot(-2)}\) nie daje \(\displaystyle{ 4}\)?

SasQ, równanie:
\(\displaystyle{ x^2=4}\)
nie jest równoznaczne temu:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{4}}\)

Ok, być może nie jest. Ale Ty też nie napisałeś DLACZEGO.

Ponieważ pierwsze ma dwa rozwiązania (co jest chyba jasne), a drugie jedno rozwiązanie - jest ono napisane JAWNIE, bo pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej jest tylko jeden.

scyth pisze:Ponieważ pierwsze ma dwa rozwiązania (co jest chyba jasne)

Jak Słońce.

scyth pisze:a drugie jedno rozwiązanie - jest ono napisane JAWNIE, bo pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej jest tylko jeden.

No i właśnie tego nie napisałeś DLACZEGO. Jeśli taka zasada istnieje gdzieś w jakimś Oficjalnym Dokumencie Standaryzacyjnym Matematyki, to poproszę o cytat / numer paragrafu, wraz z uzasadnieniem dlaczego olewa inne rozwiązania poza rzeczywistymi dodatnimi. Wtedy posypię głowę popiołem i odejdę z pokorą. Bo to, że kogoś nauczono, że jest tak, a nie inaczej, albo że ktoś tam kiedyś się umówił, że ślimak jest rybą, to mało mnie obchodzi, jeśli widzę, że nie jest

Wróćmy jednak do sprawy.
Aby przejść od równania podanego przez Ciebie (z kwadratem) do tego mojego, należy obustronnie spierwiastkować. Wtedy mamy równanie w postaci podanej przeze mnie. Niektórzy piszą tam dodatkowo \(\displaystyle{ \pm}\) przed pierwiastkiem lub przed \(\displaystyle{ x}\), by podkreślić istnienie dwóch rozwiązań, ponieważ pierwiastek ich zdaniem daje tylko dodatnie rozwiązania. Argumentują to tym, że pierwiastek muuusi (:P) być funkcją, a funkcja ma tylko jedną wartość. Tak. Funkcja musi, ale właśnie w tym problem, że pierwiastek nią nie jest, bo ma dwa rozwiązania. Geometria jasno to wskazuje. Każde działanie arytmetyczne ma swój odpowiednik geometryczny. Dla podnoszenia do kwadratu jest nim parabola, dla dzielenia hiperbola itp. Działania odwrotne powstają poprzez zamianę osi układu współrzędnych miejscami. Równanie takiej krzywej pozostaje równaniem, ale funkcja może przestać być funkcją, gdy do tej samej wartości prowadziły dwie drogi (dwa różne argumenty). Więc po co na siłę udawać, że coś jest funkcją, gdy nie jest? Gdy się obróci parabolę w ten sposób (poprawnie przekształcając równanie), to pozostaje ona parabolą, zgodną z tym równaniem. A to, że nie jest już funkcją, to już problem matematyków ;-J Umawianie się, że obcinamy dolną połówkę ujemną tej leżącej bokiem paraboli, by zdefiniować pierwiastek jako funkcję "tylko dodatnią", jest moim zdaniem jakimś naginaniem faktów do teorii.

Jednak nawet trzymając się tej "zdefiniowanej", uzgodnionej demokratycznie wersji, że symbol pierwiastka oznacza tylko dodatnie rozwiązanie, to nadal nie trzyma się kupy w innych miejscach, bo co z pierwiastkiem sześciennym z -1? Nie raz już widziałem, jak poważni matematycy z tytułami naukowymi spierają się o to, czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1}}\) ma tylko jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ -1}\) (bo \(\displaystyle{ (-1)(-1)(-1) = -1}\)), czy może ma jeszcze dwa inne: \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-3}}{2}}\) (bo te dwa również dają \(\displaystyle{ -1}\), gdy się je wymnoży trzykrotnie ze sobą, czyli podniesie do trzeciej potęgi). Moim zdaniem wersja druga, bo odpowiada geometrii. I ci sami matematycy, którzy pienią się nad tym, że \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) ma tylko jedno (dodatnie) rozwiązanie równe \(\displaystyle{ 2}\), pienią się również, gdy ktoś zje rozwiązania zespolone pierwiastka sześciennego z -1. Więc może panowie przyjrzeliby się geometrii, która za tym wszystkim stoi, i wreszcie ustalili jakąś wersję, która tej geometrii odpowiada? (A nie "A, zdefiniujmy sobie tak, bo tak nam wygodniej" )

Pierwiastek z \(\displaystyle{ 4}\) to bok kwadratu o polu \(\displaystyle{ 4}\). A kwadrat o polu \(\displaystyle{ 4}\) można otrzymać zarówno biorąc bok \(\displaystyle{ 2}\), jak i bok \(\displaystyle{ -2}\). Geometria ukazuje to jasno, już od tysięcy lat.