Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+....+ \frac{1}{2n } \ge \frac{7}{12}}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)

Można dowieść \(\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}>\frac{2}{3}>\frac{7}{12}\). Prawa nierówność jest oczywista, lewa jest prawdziwa na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną (lub Cauchy'ego-Schwarza), bowiem \[\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\ge\frac{(n+1)^2}{\sum\limits_{k=n}^{2n}k}=\frac{(n+1)^2}{\frac{n+2n}{2}\cdot (n+1)}=\frac{2(n+1)}{3n}>\frac{2}{3}.\]