7/12

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11768
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3196 razy
Pomógł: 759 razy

7/12

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+....+ \frac{1}{2n } \ge \frac{7}{12}}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1670
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 449 razy

Re: 7/12

Post autor: bosa_Nike »

Można dowieść \(\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}>\frac{2}{3}>\frac{7}{12}\). Prawa nierówność jest oczywista, lewa jest prawdziwa na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną (lub Cauchy'ego-Schwarza), bowiem \[\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\ge\frac{(n+1)^2}{\sum\limits_{k=n}^{2n}k}=\frac{(n+1)^2}{\frac{n+2n}{2}\cdot (n+1)}=\frac{2(n+1)}{3n}>\frac{2}{3}.\]
ODPOWIEDZ