Matematyka.pl

Mam następujące zadanie: Póki co tyle udało mi się rozpisać: Czego tu jeszcze brakuje?

cyfrowy_bulbulator pisze: ↑25 kwie 2024, o 20:21 Czego tu jeszcze brakuje?

Sensu i odpowiedzi.

• \(\displaystyle{ X}\) od zbioru \(\displaystyle{ A}\) czy \(\displaystyle{ B}\) nie ma sensu skoro \(\displaystyle{ X}\) to zmienna losowa. Czyli funkcja określona na \(\displaystyle{ \Omega}\). No chyba, że \(\displaystyle{ X(A)}\) to obraz...

• \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało generowane przez zmienną losową jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega}\) więc \(\displaystyle{ A,B}\) to na pewno nie jedyne elementy. Zbiór pusty i cała przestrzeni też tam chyba są. Wszak \(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\} }\) z pewnością są Borelowskie więc ich cofnięcie powinno być w \(\displaystyle{ \sigma(X)}\).

Jest taka charakteryzacja sigma-ciała generowanego przez zmienną losową, że są to wszystkie możliwe przeciwobrazy zbiorów borelowskich. W tym przypadku można napisać, czym jest \(\displaystyle{ X^{-1}(B)}\) dla każdego zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B}\) w czterech możliwych przypadkach:

\(\displaystyle{ 1\in B, 2\in B}\)
\(\displaystyle{ 1\in B, 2\notin B}\)
\(\displaystyle{ 1\notin B, 2\in B}\)
\(\displaystyle{ 1\notin B, 2\notin B}\)

matmatmm pisze: ↑26 kwie 2024, o 11:59 Jest taka charakteryzacja sigma-ciała generowanego przez zmienną losową, że są to wszystkie możliwe przeciwobrazy zbiorów borelowskich.

A jak brzmi definicja sigma-ciała generowanego przez zmienną losową?

Najmniejsze sigma-ciało takie, że ta zmienna jest względem niego mierzalna.

Rzucamy jeden raz symetryczną kostką.

Przestrzeń probabilistyczna dla tego eksperymentu \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, P) \ \ (*) }\)

Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z \(\displaystyle{ 6 }\) następujących punktów:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}\}. }\)

Elementami \(\displaystyle{ \sigma }\)- ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F} }\) są wszystkie możliwe podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \Omega: }\) \(\displaystyle{ \mathcal{F} = 2^{\Omega}.}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{F} = \{\emptyset, \{\omega_{1}\}, \{\omega_{1},\omega_{2}\} ,...,\{\omega_{1}, \omega_{3}, \omega_{5}\}, ...,\Omega \}.}\)

Na przykład podzbiór \(\displaystyle{ \{\omega_{2}, \omega_{4}, \omega_{6}\} }\) odpowiada zdarzeniu otrzymania parzystej liczby oczek.

Na przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega }\) definiujemy funkcję \(\displaystyle{ X(\omega_{j}) = j: \ \ j=1,2,3,4,5,6.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ X }\) jest zmienną losową w przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ (*) }\),przyjmującą wartości należące do zbioru \(\displaystyle{ X(\omega)\in \{1,2,3,4,5, 6\},}\) bo \(\displaystyle{ \mathcal{F} = 2^{\Omega} }\)

Masz rację.

\(\displaystyle{ \sigma }\) ciałem \(\displaystyle{ (\sigma(X))}\) generowanym przez zmienną losową \(\displaystyle{ X, }\) nazywamy najmniejsze \(\displaystyle{ \sigma }\)-ciało podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega, }\) względem którego \(\displaystyle{ X }\) jest funkcją mierzalną.

Dla tego eksperymentu:

\(\displaystyle{ \sigma(X) = \sigma(\{ X =1\}, \{X=2\}, \{X=3\}, \{X=4\}, \{X=5\}, \{X=6\}).}\) - co daje sześcioelementową przestrzeń probabilistyczną.

\(\displaystyle{ |\sigma(X)| = |\mathcal{F}(\Omega)| = |\mathcal{P}(\Omega)| = 2^6.}\)