Matematyka.pl

Jednak głupie zadanie, gdzie do końca nie jestem pewien poprawnej odpowiedzi

Ze zbioru cyfr \(\displaystyle{ \{0,1,2,3\}}\) wylosowano dwie i odrzucono. Z otrzymanego zbioru wylosowano ze zwracaniem pięć cyfr. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba utworzona z tych cyfr jest podzielna przez 3?

Do sprawdzenia:
Wszystkich możliwości jest oczywiście \(\displaystyle{ {4\choose 2}\cdot 6=36}\)
Rozważmy zdarzenie przeciwne.
Zauważmy, że gdy wybieramy 5 liczb z dwuelementowego zbioru, zawsze istnieją 3 takie same wśród liczb przez nas wybranych. Zatem wystarczy tylko skupić się na dwóch cyfrach, które (zdarzenie przeciwne), nie mogą dzielić się przez 3.
Wypiszmy wszystkie takie dwójki postaci aa i ab:
01,02,13,23
11,22
Teraz trzeba policzyć, na ile sposobów można "doczepić" 3 takie same cyfry. (żadna się nie powtórzy, wystarczy zbadać stosunek ilościowy i jakościowy cyfr). Oczywiście 3 cyfry można doczepić w pierwszym przypadku na dwa sposoby, w drugim zaś na 4.
Mamy \(\displaystyle{ 4\cdot 2+2\cdot 4=16}\) możliwości.
\(\displaystyle{ P=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}}\)

[edit] wkradł się błąd, niepotrzebnie policzyłem 00, więc poprawiam
[edit 2] wkradł się drugi błąd, porawiłem

soliter, przepraszam, że tak późno, ale miałem abscencje świąteczną Ludzka rzecz.

Tak więc nasuwają się pytania. Albo moja omega jest zła, albo coś jest złego. Wiadomo, że pierwszy składnik iloczynu omegi = \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\), ale mógłbyś wytłumaczyć skąd akurat 6?

Następny przypadek. Liczyłem tak jak Ty, ale ja z kolei wypisywalem sobie te liczby podzielne przez 3.
Gdy wylosujemy
{0,0} - zawsze suma jest podzielna. 1x*
{3,3} - znów suma jest podzielna. 1x
gdy {0,1}
podzielne jest tylko w sytuacji gdy są zera na końcu. 2x
gdy {0,2}
analogicznie jak dla {0,1}. 2x
gdy {0,3}. Zawsze. 2x+2x+2x
gdy {1,2}.
Tylko jak będzie 1 i 2. Stąd 2x
gdy {1,3}
Tylko jak same trójki. 2x
gdy {2,3}
Również jak będą same trójki. 2x
Po zsumowaniu: 18x. Chyba, że istotna jest kolejność dla sytuacji, gdy cyfry są takie same. Ale to chyba trochę głupie Prosiłbym o korekte mojego rozumowania

*1x - czyt. jeden raz zachodzi sytuacja prawdziwa dla treści zadania.

Finarfin pisze:soliter, przepraszam, że tak późno, ale miałem abscencje świąteczną Ludzka rzecz.

Tak więc nasuwają się pytania. Albo moja omega jest zła, albo coś jest złego. Wiadomo, że pierwszy składnik iloczynu omegi = \(\displaystyle{ {4\choose 2}}\), ale mógłbyś wytłumaczyć skąd akurat 6?

Kilka przypadków policzyłem dwukrotnie. Powinno być:
\(\displaystyle{ {4\choose 2}\cdot 4 + 4}\)
+4 odpowiada liczbie możliwych wyborów przy założeniu, że wybieramy te same cyfry.
\(\displaystyle{ {4\choose 2}\cdot 4}\) To jest zaś liczba przypadków, jeśli założymy, że wybieramy różne cyfry.

soliter pisze: \(\displaystyle{ {4\choose 2}\cdot 4}\) To jest zaś liczba przypadków, jeśli założymy, że wybieramy różne cyfry.

Na pewno?

Poza tym odnośnie wyniku. W końcu mój jest okej, czy Twój? Jak to jest z tymi podwójnymi przypadkami?

Wybieramy dwie różne cyfry a i b.
Możemy je wybrać na cztery różne sposoby: raz cyfrę a i czterokrotnie cyfrę b, dwa razy cyfrę a i trzykrotnie cyfrę b, trzykrotnie cyfrę a i dwukrotnie cyfrę b, czterokrotnie cyfrę a i raz cyfrę b
Po uwzględnieniu poprawki:
\(\displaystyle{ P=\frac{28-16}{28}=\frac{3}{7]}\)
To jest poprawna odpowiedź wg mnie.

Mi wyszło 43/96.
Kolejność cyfr nie ma znaczenia (dla podzielności przez 3 liczy się suma cyfr), a cyfry podzielą się:
(0, 5) = [pierwsza cyfra ani razu, druga - pięć razy] z p-stwem 1/32
(1, 4) z p-stwem 5/32
(2, 3) z p-stwem 10/32
(3, 2) - 10/32,
(4, 1) - 5/32,
(5, 0) - 1/32.

43/96 wyszło mi jako średnia z poniższych prawdopodobieństw:
1) p-stwo podzielności 5-cyfrowej liczby przez 3 przy losowaniu z (0,1) - zero jedynek lub trzy jedynki tj. P=11/32,
2) (0, 2) - zero dwójek lub trzy dwójki - 11/32
3) (0, 3) - zawsze, tj. P=1
4) (1, 2) - cztery jedynki i dwójka lub cztery dwójki i jedynka tj. 5/32+5/32=10/32,
5) (1, 3) - zero jedynek lub trzy jedynki - P=11/32
6) (2, 3) - zero dwójek lub trzy dwójki - P=11/32

Policzyłem na spokojnie i wyszło mi tak jak dunkardowi. Zresztą sami zobaczcie + mała prośba

Zrobiłem zadanie tak ->



Ponieważ muszę wysłać to zadanie do jutra na kurs(żaden KONkurs ), a zależy mi tym razem na dość wysokiej punktacji w związku z tym prosiłbym w razie czego o poprawienie jakiś błędów(nawet ortograficznych ), gdyż prof. sprawdzający sprawdzają naprawdę surowo, niekiedy odejmując punkty za naprawdę spory badziew(jak np. napisanie twierdzenie Pitagorasa z małej litery ).

Z góry dziękuję za wszelaką pomoc