Zbieżność według prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
aneta909811
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 162
Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 29 razy

Zbieżność według prawdopodobieństwa

Post autor: aneta909811 »

Pokazać, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ \left( X_{n}, n \ge 1\right) }\), gdzie każda zienna losowa \(\displaystyle{ X_{n}}\) ma funkcję gęstości

\(\displaystyle{ f_{n}= \begin{cases} nx^{n-1} \quad 0<x<1 \\ 0 \quad poza \end{cases} }\)

jest zbieżny według p-stwa do 1? Czy ten ciąg jest zbieżny również w sensie \(\displaystyle{ L^{1}}\) ?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7493
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1603 razy

Re: Zbieżność według prawdopodobieństwa

Post autor: janusz47 »

Korzystamy z twierdzenia:

"Jeżeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X, X_{1}. X_{2}, X_{3}, \ \ ... }\) są zmiennymi losowymi o wartościach w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (E,d), }\)
zbieżnymi według rozkładu \(\displaystyle{ X_{n}\rightarrow X }\), gdzie \(\displaystyle{ P(\{X = c\}) = 1, \ \ c\in E, }\) to \(\displaystyle{ X_{n} \rightarrow c }\) jest zbieżny według parawdopodobieństwa."

Z tego twierdzenia wynika, że musimy przejść z ciągu gęstości zmiennych losowych na ciąg ich dystrybuant zbieżny do ...
ODPOWIEDZ