Matematyka.pl

Pokazać, że ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ \left( X_{n}, n \ge 1\right) }\), gdzie każda zienna losowa \(\displaystyle{ X_{n}}\) ma funkcję gęstości

\(\displaystyle{ f_{n}= \begin{cases} nx^{n-1} \quad 0<x<1 \\ 0 \quad poza \end{cases} }\)

jest zbieżny według p-stwa do 1? Czy ten ciąg jest zbieżny również w sensie \(\displaystyle{ L^{1}}\) ?

Korzystamy z twierdzenia:

"Jeżeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X, X_{1}. X_{2}, X_{3}, \ \ ... }\) są zmiennymi losowymi o wartościach w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (E,d), }\)
zbieżnymi według rozkładu \(\displaystyle{ X_{n}\rightarrow X }\), gdzie \(\displaystyle{ P(\{X = c\}) = 1, \ \ c\in E, }\) to \(\displaystyle{ X_{n} \rightarrow c }\) jest zbieżny według parawdopodobieństwa."

Z tego twierdzenia wynika, że musimy przejść z ciągu gęstości zmiennych losowych na ciąg ich dystrybuant zbieżny do ...