Matematyka.pl

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ (A_{n})_{n\ge 1}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie, takim że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(\log\left| A_{n}\right|)=\alpha<0}\), to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \prod_{i=1}^{k}A_{i}}\) jest zbieżny p.n.

No naprawdę nie wiem, co tu zrobić, na początku myślałem o twierdzeniu o dwóch szeregach, ale jakbym do tego nie dopasowywał Jensena, to wychodzi w drugą stronę (tj. chciałem jakoś szacować \(\displaystyle{ E\left| A_{n}\right|}\) z użyciem wiedzy o \(\displaystyle{ E(\log\left| A_{n}\right|)}\), no ale nie umiem), a bez tego trudno byłoby pokazać, ze szeregi odpowiednich wartości oczekiwanych i wariancji są zbieżne.
Potem sobie pomyślałem, że \(\displaystyle{ \left(\left|\prod_{i=1}^{k}A_{i} \right| \right) ^{ \frac{1}{k} } = \left(\prod_{i=1}^{k}\left| A_{i}\right| \right)^ \frac{1}{k}=\exp\left( \frac{ \sum_{i=1}^{k}\log\left| A_{i}\right| }{k} \right) \stackrel{p.n.}{\longrightarrow}\exp(\mathbb{E}(\log\left| A_{1}\right|))}\)
z MPWL i ciągłości eksponenty, ale to chyba nic mi nie daje (poza tym ten argument z ciągłością eksponenty wydaje się być semiblefem). W dodatku zauważyłem, że tak naprawdę, to nie mam nawet ćwiartki rzeczowego argumentu, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(\left| \log\left| A_{n}\right| \right|)< \infty}\), czyli tak właściwie to nawet nie jestem pewien, czy działa tu MPWL, a nawet jeśli działa, to nie wynika to z moich śmieciowych wypocin.

Konkluzja: nie umiem tego zrobić, więc jestem kretynem. [ciach]

Proszę o jakieś przystępne wskazówki, znam twierdzenie o dwóch szeregach, twierdzenie o trzech szeregach, MPWL, lemat Borela-Cantelliego i to chyba tyle z rzeczy, które mogłyby się tu przydać.
Z góry dziękuję.

-- 1 cze 2015, o 20:10 --

Nieaktualne.