Matematyka.pl

Nadszedł dla mnie czas kiedy muszę zmierzyć się ze statystyką... Mam nadzieje że znajdą się tutaj osoby które pomogą mi w moich problemach ze zrozumieniem tego działu matematyki, który chyba po prostu nie jest na moją głowę.

Zad 1. Wycieczka 5 osób zwiedza świątynie. Każdy zdejmuje buty i wrzuca do skrzynki. Po zwiedzeniu każdy otrzymuje dwa buty na chybił trafił.
Jakie jest p-podobieństwo, że każdy otrzyma:

a) but lewy i prawy

Ja to rozumuje tak: jest 5 osób, więc 10 par butów w tym (5p+5l), ja bym tu zastosowała kombinacje \(\displaystyle{ C^2_{10}}\)
, ale to kompletnie wyklucza zapis w odpowiedzi który nie wiem skąd się wziął: \(\displaystyle{ \frac{2^5 \cdot (5!)^2}{10!}}\)
Co tu wgl robią te potęgi ?
Dlatego już nie ogarniam o co chodzi z kolejnymi punktami

b) parę butów -> Odp: \(\displaystyle{ \frac{2^5 \cdot 5!}{10!} }\)
c) swoją parę butów -> \(\displaystyle{ \frac{2^5}{10!}
}\)
Raczej zawsze ogarniałam wariancje ale teraz nie wiem co się tu dzieje i te potęgi , przecież wzór kluczowy to \(\displaystyle{ {n \choose k}= \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} }\)

Zad.2 Cyfry 0,1,2...9 ustawiono losowo. Jakie jest p-podobieństwo, że między 2, a 3 znajdą się:

a) dokładnie 4 cyfry

A - znajdą się dokładnie 4 cyfry
\(\displaystyle{ \Omega = 10!}\) - losowe ustawienie zbioru
Jak próbowałam ustawiać to wyliczyłam że jest 5 takich możliwości na 10 miejscach. - ale nie wiem co dalej, czegoś brakuje nie rozumiem zapisu ;(
Skoro 2 cyfry ustawiamy to pozostaje 8 losowo, czyli 8! ?


Za wszelką pomoc w zrozumieniu i w rozwiązaniu będę wdzięczna.

b) cyfry 0,1,2 stoją obok siebie

Tutaj to samo ---> \(\displaystyle{ \Omega = 10!}\) , jak ustawiałam wyszło mi 8 możliwości ustawienia 0,1,2 obok siebie czyli reszta 7! ?

Zad 3. 4 dziewczyny i 4 chłopców ustawiło się losowo w szeregu. Jakie p-podobieństwo, że:

a) dwie dziewczyny nie stoją obok siebie ?
\(\displaystyle{ \Omega = 8!}\) - skoro losowe ustawienie 8 osób
Chciałam spróbować - przeciwieństwem że 2 stoją obok siebie i takich opcji wyszło 4.

b) usiedli przy okrągłym stole, jakie p-podobieństwo, że żadne dziewczynki nie siedzą obok siebie.
czyli musi być na przemian

Odp: \(\displaystyle{ 1- \frac{4! \cdot 5! \cdot 15}{8! \cdot 18}}\) zastosowano przeciwieństwo, ale jakie 18 i 15 ?

Klaudiuska88 pisze: ↑15 kwie 2023, o 23:12 zmierzyć się ze statystyką...tego działu matematyki...

Statystyka to raczej nie jest dział matematyki. A Ty tu zajmujesz się rachunkiem p-stwem swoją drogą. Co do zadania (1a) to zamiast zastanawiać się czy to są kombinacje czy inne wariancje zastanów się nad tym

• na ile sposobów można rozdać \(\displaystyle{ 10}\) różnych butów po \(\displaystyle{ 5}\) prawych i lewych \(\displaystyle{ 5}\) osobom?

• na ile sposobów można rozdać buty tak by każda osoba dostała \(\displaystyle{ 1}\) prawy i \(\displaystyle{ 1}\) lewy?

Dziękuje bardzo za wytłumaczenie. Dzięki temu inaczej spojrzałam na drugie zadanie, ale czy dobrze rozwiązałam?

Zad 2.

a)

istnieje 10 możliwości ustawień, aby pomiędzy 2, a 3 było 4 cyfry "2"_ _ _ _ "3"
reszta cyfr ze zbioru 8-elementowego możliwość ich ustawienia to 8!

\(\displaystyle{ A= 10 \cdot 8!}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{10 \cdot 8!}{10!} }\)

b) cyfry 0,1,2 - razem

istnieje 8 możliwości ustawień "0,1,2" i 3! możliwości pomieszań cyfr
reszta cyfr ze zbioru 7-elementowego - możliwość ustawienia to 7!
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{3! \cdot 8 \cdot 7!}{10!} }\)

Dodano po 7 minutach 13 sekundach:
Dalej jednak nie potrafię w pełni rozwiązać tego zadania...

Zad. 3

\(\displaystyle{ \Omega= 8!}\) 4 dziewczynki + 4 chłopców

Istnieją dwie możliwości ustawień, aby 2 dziewczynki nie były obok siebie:

1. d,c,d,c,d,c,d,c

2. c,d,c,d,c,d,c,d

4! - ustawienia chłopców
4!- ustawienie dziewczynek
więc --->\(\displaystyle{ A= 2 \cdot 4! \cdot 4!}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2 \cdot 4! \cdot 4!}{8!} }\)

na podpunkt b) nie mam pomysłu wg ;(

Klaudiuska88 pisze: ↑16 kwie 2023, o 23:18 \(\displaystyle{ A= 10 \cdot 8!}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{10 \cdot 8!}{10!} }\)

Yup! Zadanie można zrobić rysunkiem: na czerwone miejsca trafi \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\). Opcji jest jak widać \(\displaystyle{ 5}\) i jeszcze razy \(\displaystyle{ 2!}\) bo kolejność \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) ma znaczenie czyli faktycznie \(\displaystyle{ 10}\). Na pozostałe \(\displaystyle{ 8}\) miejsc dajemy resztę cyfr na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów. Więc jest jak mówisz. Co do punktu (2b) też bym tak zrobił. Podkreślił bym jednak, że warunek 0,1,2 stoją obok siebie rozumiem jakoby dopuszczał wszystkie permutacje. (3a) też bym tak zrobił. Co do (3b) to tak sobie myślę, że okrągły stół to taki szereg z dokładnością co do przesunięć tzn. początek łączymy z końcem więc sytuacje \(\displaystyle{ {\red\bullet} {\blue\times}{\blue\times} {\blue\times}{\blue\times} {\blue\times}{\blue\times} {\blue\times} {\blue\times}}\) jest równoważna przesunięciom \(\displaystyle{ {\blue\times} {\red\bullet} {\blue\times} {\blue\times}{\blue\times} {\blue\times}{\blue\times} {\blue\times} {\blue\times}}\), \(\displaystyle{ {\blue\times}{\blue\times} {\red\bullet} {\blue\times}{\blue\times} {\blue\times}{\blue\times} {\blue\times} {\blue\times}}\) itd. tak jak to rotacja okręgłego stołu nie daje nowych ustawień. Wszystkich ustawiań jest więc \(\displaystyle{ 8!/8}\) bo gdyby rotacji nie było to było by \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów ale każdy z takich sposobów można rotować na \(\displaystyle{ 8}\) sposób których nie powinniśmy liczyć. Więc \(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=7! }\). Ponieważ sytuacja jest taka a nie inna aby interesujące nas zdażenie zaszło to chłopcy i dziewczęta muszą siedzieć na przemian. Usadźmy jednego chłopca gdziekolwiek (to okrągły stół) do obsadzenia są \(\displaystyle{ 3}\) miejsca jeszcze to uczynimy na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów. W lukach pomiędzy chłopakami sadzamy dziewczyny na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów. Zatem imho \(\displaystyle{ \left( 3!4!\right) /7!}\) to chyba odpowiedź.

PS \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]/_{0=1} \cong S^1 }\).