Matematyka.pl

Mam takie zadanie, ale nie wiem jak się za nie zabrać...

Spośród \(\displaystyle{ 18}\) strzelców:
\(\displaystyle{ 5}\) trafia do celu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,8}\);
\(\displaystyle{ 7}\) trafia do celu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,7}\);
\(\displaystyle{ 4}\) trafia do celu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,6}\);
\(\displaystyle{ 2}\) trafia do celu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,5}\).
Wybrany losowo strzelec nie trafił. Do której grupy prawdopodobnie należał ten strzelec?

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ N_t}\) zdarzenie polegające na nie trafieniu. Natomiast przez \(\displaystyle{ A_i}\) wylosowanie zawodnika z grupy liczącej \(\displaystyle{ i}\) zawodników. Najpierw policz wszystkie zdarzenia warunkowe np.:
\(\displaystyle{ P(N_T|A_5)=0,2...}\)

Niestety ale ja nie rozumiem;) jestem bardzo słaby z takich rzeczy... nie lubie ich i jakoś trudno mi idzie zrozumienie tego

\(\displaystyle{ P(N_t |A_5)}\) oznacza prawdopodobieństwo, że zawodnik ni trafi o ile jest z tej pierwszej grupy, dla której prawdopodobieństwo trafienia wynosi \(\displaystyle{ 0,8}\). Skoro prawdopodobieństwo trafienia wynosi \(\displaystyle{ 0,8}\), to prawdopodobieństwo nietrafienia wynosi \(\displaystyle{ 0,2}\). Teraz liczysz kolejne:
\(\displaystyle{ P(N_t |A_7)=?}\)

\(\displaystyle{ P(N_T|A_5)=0,2}\)
\(\displaystyle{ P(N_t |A_7)=0.3}\)
\(\displaystyle{ P(N_t |A_4)=0.4}\)
\(\displaystyle{ P(N_t |A_2)=0.5}\)

i co mam to dodać?

Teraz musimy obliczyć \(\displaystyle{ P(N_t)}\). Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(N_t)=P(N_t|A_5)\cdot P(A_5)+P(N_t | A_7)\cdot P(A_7) +P(N_t|A_4)\cdot P(A_4) +P(N_t|A_2)\cdot P(A_2)}\)
Musimy więc policzyć jeszcze \(\displaystyle{ P(A_i)}\). To jest dość łatwe. Dla \(\displaystyle{ A_7}\) mamy:
\(\displaystyle{ P(A_7)=\frac{7}{18}}\) wszystkich zawodników jestosiemnastu, a my losujemy akurat jednego z siódemki. Te prawdopodobieństwo możesz też wyliczyć z drzewka, jeśli nie lubisz wzorów.

Jak już wszystko Policzysz, to będziesz mógł się zabrać do rozwiązania treści zadania
Wyliczasz kolejno:
\(\displaystyle{ P(A_7 |N_t)=\frac{P(N_t | A_7)P(A_7)}{P(N_t)}\\
P(A_5 |N_t)=\frac{P(N_t | A_5)P(A_5)}{P(N_t)}\\
P(A_4 |N_t)=\frac{P(N_t | A_4)P(A_4)}{P(N_t)}\\
P(A_2 |N_t)=\frac{P(N_t | A_2)P(A_2)}{P(N_t)}\\}\)
Prawdopodobnie trafi on do tej grupy, która tu wykaże największe prawdopodobieństwa.

Wyszło mi

\(\displaystyle{ P(A_7 |N_t)=\frac{P(N_t | A_7)P(A_7)}{P(N_t)}=0,37\\ P(A_5 |N_t)=\frac{P(N_t | A_5)P(A_5)}{P(N_t)}=0,18\\ P(A_4 |N_t)=\frac{P(N_t | A_4)P(A_4)}{P(N_t)}=0,28\\ P(A_2 |N_t)=\frac{P(N_t | A_2)P(A_2)}{P(N_t)}=0,18\\}\)

Czyli najprawdopodobniej jest on w grupie z 7 strzelcami

Dobrze?

Prawdopodobnie. Sam nie liczyłem .