Matematyka.pl

Witam, mam zadanie
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0, x<0 \\ x , x \in \left\langle 0, 1\right\rangle \\ -x+2 , x \in \left\langle 1, 2\right\rangle \\ 0, x>2 \end{cases}}\)
Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X ^{2}}\)
To zacząłem robić tak
\(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\right\rangle Y \in \left\langle 0, 4\right\rangle}\) nie wiem czy to prawidlowo
\(\displaystyle{ F _{y}(x)=P(Y \le x)=P(X ^{2} \le x)=P(- \sqrt{x} \le X \le \sqrt{x} )}\)
A dalej nie wiem co robić, może ktoś ma pomysł?

Przecież rozmawialiśmy o dystrybuancie zmiennej \(\displaystyle{ X}\). A co poza przedziałem \(\displaystyle{ [0,2]}\)?

Zapewne wiesz jak wyznaczyć a) dystrybuantę z gęstości, b) gęstość z dystrybuanty. Obie rzeczy są tu potrzebne.

szw1710, Ja wiem jak wyznaczyć a) dystrybuantę z gęstości, b) gęstość z dystrybuanty. Ja nie rozumiem algorytmu zadania... Czy może ktoś mi wytłumaczyć te zadanie od samego początku?

Ale przecież dobrze się do tego zabierasz chcąc wyznaczyć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X^2}\). Brakuje Ci tylko (i może aż) tych \(\displaystyle{ x}\), które nie leżą w przedziale koncentracji tej zmiennej, czyli w \(\displaystyle{ [0,2]}\). Ale to naprawdę proste. DLa \(\displaystyle{ x<0}\) przecież \(\displaystyle{ F_Y(x)=0}\) (dlaczego)? A dla \(\displaystyle{ x>2}\) masz \(\displaystyle{ F(x)=\dots}\) (też łatwe).

A dla \(\displaystyle{ x>2}\) może być \(\displaystyle{ F(x)=0}\)
Ale coś teraz ciężko zrozumieć dla czego
\(\displaystyle{ F _{y}(x)=P(Y \le x)=P(X ^{2} \le x)=P(- \sqrt{x} \le X \le \sqrt{x} )}\)

Dla \(\displaystyle{ x>2}\) to nieprawda. Zastanów się raz jeszcze.

To co piszesz o \(\displaystyle{ Y}\) jest przecież oczywiste. Pytanie czy doszedłeś do tego własnymi rachunkami. Jeśli tak, fakty przecież nie kłamią.

Przecież nierówność \(\displaystyle{ X^2\le x}\) jest kwadratowa, zwyczajne rozwiązanie nierówności prowadzi do celu.