Wyznaczenie rozkładu X/Y, gdy znamy rozkład (X,Y)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Atmos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 28 lis 2021, o 17:42
Płeć: Kobieta
wiek: 22
Podziękował: 6 razy

Wyznaczenie rozkładu X/Y, gdy znamy rozkład (X,Y)

Post autor: Atmos »

Dobry wieczór! :)
Mam problem z takim zadaniem:
Zmienna losowa dwuwymiarowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład z gęstością \(\displaystyle{ f(x, y)=\begin{cases}4 \cdot xy&(x, y) \in [0,1]^2\\ 0 & \text{ poza tym}\end{cases}}\). Trzeba na tej podstawie znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \frac{X}{Y}}\). Zastanawiam się, jak to zrobić, do tej pory robiliśmy takie rzeczy tylko dla zmiennych jednowymiarowych.
Z góry dziękuję za pomoc! :)
Ostatnio zmieniony 29 mar 2023, o 21:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Wyznaczenie rozkładu X/Y, gdy znamy rozkład (X,Y)

Post autor: Dasio11 »

Dla ustalonego \(\displaystyle{ b \in \RR}\):

\(\displaystyle{ F_{X/Y}(b) = \mathbb{P} \left( \frac{X}{Y} \le b \right) = \mathbb{P} \left( X \le b Y \right) = \int \limits_{D_b} f(x, y) \, \dd x \dd y}\),

gdzie \(\displaystyle{ D_b = \{ (x, y) \in \RR^2 : x \le by \}}\). Całkę liczy się standardowo, a to daje jawny wzór na dystrybuantę \(\displaystyle{ \frac{X}{Y}}\).
ODPOWIEDZ