Dobry wieczór!
Mam problem z takim zadaniem:
Zmienna losowa dwuwymiarowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład z gęstością \(\displaystyle{ f(x, y)=\begin{cases}4 \cdot xy&(x, y) \in [0,1]^2\\ 0 & \text{ poza tym}\end{cases}}\). Trzeba na tej podstawie znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \frac{X}{Y}}\). Zastanawiam się, jak to zrobić, do tej pory robiliśmy takie rzeczy tylko dla zmiennych jednowymiarowych.
Z góry dziękuję za pomoc!
Wyznaczenie rozkładu X/Y, gdy znamy rozkład (X,Y)
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 28 lis 2021, o 17:42
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 6 razy
Wyznaczenie rozkładu X/Y, gdy znamy rozkład (X,Y)
Ostatnio zmieniony 29 mar 2023, o 21:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wyznaczenie rozkładu X/Y, gdy znamy rozkład (X,Y)
Dla ustalonego \(\displaystyle{ b \in \RR}\):
\(\displaystyle{ F_{X/Y}(b) = \mathbb{P} \left( \frac{X}{Y} \le b \right) = \mathbb{P} \left( X \le b Y \right) = \int \limits_{D_b} f(x, y) \, \dd x \dd y}\),
gdzie \(\displaystyle{ D_b = \{ (x, y) \in \RR^2 : x \le by \}}\). Całkę liczy się standardowo, a to daje jawny wzór na dystrybuantę \(\displaystyle{ \frac{X}{Y}}\).
\(\displaystyle{ F_{X/Y}(b) = \mathbb{P} \left( \frac{X}{Y} \le b \right) = \mathbb{P} \left( X \le b Y \right) = \int \limits_{D_b} f(x, y) \, \dd x \dd y}\),
gdzie \(\displaystyle{ D_b = \{ (x, y) \in \RR^2 : x \le by \}}\). Całkę liczy się standardowo, a to daje jawny wzór na dystrybuantę \(\displaystyle{ \frac{X}{Y}}\).