Własności prawdopodobieństwa

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 10:51

\(\displaystyle{ P(A|B)=P(B|A), \ P(A \cup B) = 1}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B) > 0}\), dla jakich a mamy zawsze \(\displaystyle{ P(A)>a}\)?

Jak to w ogóle zacząć? Kompletnie nie łapię o co chodzi w tym zadaniu :/

ares41 · Post autor: **ares41** » 29 sie 2011, o 10:55

Co wynika z warunku \(\displaystyle{ P(A|B)=P(B|A)}\) ?

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 11:09

hmm jeżeli zdarzenie A i B są niezależne to \(\displaystyle{ P(A|B) = P(A)}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 29 sie 2011, o 11:13

A są niezależne?
Nie o to mi chodziło.
Rozpisz, ile to jest \(\displaystyle{ P(A|B)}\), a ile to \(\displaystyle{ P(B|A)}\) i porównaj.

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 11:20

hmm masz na myśli prawdopodobieństwo warunkowe?

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

\(\displaystyle{ P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 29 sie 2011, o 11:22

Tak. Co możesz powiedzieć teraz o \(\displaystyle{ P(A)\text{ i } P(B)}\) ?

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 11:35

że są sobie równe?

ares41 · Post autor: **ares41** » 29 sie 2011, o 11:36

Tak. Teraz wykorzystaj to rozpisując \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\).

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 11:42

\(\displaystyle{ P(A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\)

\(\displaystyle{ P(A \cup B ) = P(A) + P(A) - P(A \cap B)}\)

oto chodzi?

ares41 · Post autor: **ares41** » 29 sie 2011, o 11:44

Tak, o to.
Po uproszczeniu masz \(\displaystyle{ P(A \cup B)=2P(A)-P(A \cap B)}\).
Teraz skorzystaj z tego co wiemy z treści zadania o \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) i wyznacz z tego równania \(\displaystyle{ P(A)}\).

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 11:50

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1+P(A \cap B)}{2}}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 29 sie 2011, o 11:55

No to teraz skorzystaj z założenia, że \(\displaystyle{ P(A \cap B) >0}\)

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 12:04

no ale jak? \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\) jak to zastosować :/

ares41 · Post autor: **ares41** » 29 sie 2011, o 12:07

Z tego \(\displaystyle{ P(A \cap B)>0}\) wynika, że \(\displaystyle{ P(A)> \frac{1}{2}}\)

iie · Post autor: **iie** » 29 sie 2011, o 12:09

hmmm, ale z tego wynika że \(\displaystyle{ P(A \cap B) = 0}\), a w założeniach jest \(\displaystyle{ > 0}\)