Turniej szachowy
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 262
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 69 razy
Turniej szachowy
W turnieju szachowym uczestniczy \(\displaystyle{ 2^n }\) graczy, wśród których są zawodnicy X oraz Y. W pierwszej rundzie, gracze sa parowani w sposób losowy; następnie, \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) zwycięzców ponownie grupuje się w pary losowo, itd., aż do n-tej rundy, w której dwóch pozostałych zawodników rozgrywa partię o zwycięstwo w turnieju. Zakładamy, że nie ma remisów oraz że gracze grają na tym samym poziomie (w każdej partii, prawdopodobieństwo zwycięstwa dla każdego gracza wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\)). Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że zawodnicy X oraz Y rozegrają partię przeciwko sobie.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Turniej szachowy
Może tak, choć nie wiem czy dobrze:
Moim zdaniem szukane prawdopodobieństwo przy losowaniu par po każdej rundzie gier będzie tożsame z prawdopodobieństwem gdy \(\displaystyle{ 2^n }\) graczy od razu tworzy pełną drabinkę turniejową.
Gracz Y zajmuje dowolne miejsce z dostępnych \(\displaystyle{ 2^n }\) miejsc.
1) Aby X zagrał z Y w I rundzie, to musi wylosować miejsce w parze z Y.
\(\displaystyle{ P(1)= \frac{1}{2^n-1} }\)
2) Aby X zagrał z Y w II rundzie, to musi wylosować miejsce w parze która spotka się z parą w której jest Y i obaj wygrają swoje pierwsze mecze.
\(\displaystyle{ P(2)= \frac{2}{2^n-1} \left( \frac{1}{2} \right)^2 }\)
3) Aby X zagrał z Y w III rundzie, to musi wylosować miejsce w parach których drabinka schodzi się w III rundzie z drabinką w której jest para z Y , i obaj wygrają swoje mecze.
\(\displaystyle{ P(3)= \frac{4}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^2 \right)^2 }\)
4) Aby X zagrał z Y w IV rundzie, to musi wylosować miejsce w parach których drabinka schodzi się w IV rundzie z drabinką w której jest para z Y , i obaj wygrają swoje mecze.
\(\displaystyle{ P(4)= \frac{8}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^3 \right)^2 }\)
....
....
n) Aby X zagrał z Y w N-tej rundzie (w finale), to musi wylosować miejsce w parach które są w innej połówce drabinki niż para z Y , i obaj wygrają swoje mecze.
\(\displaystyle{ P(n)= \frac{2^{n-1}}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)^2 }\)
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=1}^{n}P(i)= \sum_{i=1}^{n} \frac{2^{i-1}}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{i-1} \right)^2 }\)
PS
Wyniku nie upraszczam, podobne jak w innych zadaniach, gdyż nie wiem czy jest to wymagane. Tu akurat jest prosta suma ciągu geometrycznego.
Moim zdaniem szukane prawdopodobieństwo przy losowaniu par po każdej rundzie gier będzie tożsame z prawdopodobieństwem gdy \(\displaystyle{ 2^n }\) graczy od razu tworzy pełną drabinkę turniejową.
Gracz Y zajmuje dowolne miejsce z dostępnych \(\displaystyle{ 2^n }\) miejsc.
1) Aby X zagrał z Y w I rundzie, to musi wylosować miejsce w parze z Y.
\(\displaystyle{ P(1)= \frac{1}{2^n-1} }\)
2) Aby X zagrał z Y w II rundzie, to musi wylosować miejsce w parze która spotka się z parą w której jest Y i obaj wygrają swoje pierwsze mecze.
\(\displaystyle{ P(2)= \frac{2}{2^n-1} \left( \frac{1}{2} \right)^2 }\)
3) Aby X zagrał z Y w III rundzie, to musi wylosować miejsce w parach których drabinka schodzi się w III rundzie z drabinką w której jest para z Y , i obaj wygrają swoje mecze.
\(\displaystyle{ P(3)= \frac{4}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^2 \right)^2 }\)
4) Aby X zagrał z Y w IV rundzie, to musi wylosować miejsce w parach których drabinka schodzi się w IV rundzie z drabinką w której jest para z Y , i obaj wygrają swoje mecze.
\(\displaystyle{ P(4)= \frac{8}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^3 \right)^2 }\)
....
....
n) Aby X zagrał z Y w N-tej rundzie (w finale), to musi wylosować miejsce w parach które są w innej połówce drabinki niż para z Y , i obaj wygrają swoje mecze.
\(\displaystyle{ P(n)= \frac{2^{n-1}}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)^2 }\)
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=1}^{n}P(i)= \sum_{i=1}^{n} \frac{2^{i-1}}{2^n-1} \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{i-1} \right)^2 }\)
PS
Wyniku nie upraszczam, podobne jak w innych zadaniach, gdyż nie wiem czy jest to wymagane. Tu akurat jest prosta suma ciągu geometrycznego.