Matematyka.pl

Na ustalonym okregu losujemy trzy punkty i łączymy je odcinkami. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że największy kąt powstałego trójkąta jest nie mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi }\) .

Od ponad miesiąca się waham czy tu pisać, gdyż intuicja sugeruje mi błędność poniższego rozwiązania. Niestety nie wiem w którym miejscu się mylę. Może ktoś mnie oświeci.

Aby był spełniony warunek:

aneta909811 pisze: ↑12 kwie 2023, o 23:26 największy kąt powstałego trójkąta jest nie mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi }\) .

to trzy wierzchołki trójkąta muszą leżeć na łuku którego kąt środkowy nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi }\). Wybieram dowolne miejsce na okręgu dla pierwszego wierzchołka.
Drugi wierzchołek wraz z pierwszym są końcami łuku o kącie środkowym \(\displaystyle{ \alpha}\) z przedziału \(\displaystyle{ (- \pi , \pi >}\) (licząc od promienia okręgu o końcu w pierwszym wierzchołku). Analogicznie trzeci wierzchołek wraz z pierwszym są końcami łuku o kącie środkowym \(\displaystyle{ \beta}\) z przedziału \(\displaystyle{ (- \pi , \pi >}\). Kąty te tworzą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \alpha 0 \beta }\) obszar o polu \(\displaystyle{ 4\pi ^2}\).
Rozróżniam dwa zdarzenia sprzyjające:
a) jeśli \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{2}{3} \pi}\) to \(\displaystyle{ \alpha -\frac{2}{3} \pi \le \beta \le \frac{2}{3} \pi}\)
b) jeśli \(\displaystyle{ 0 > \alpha \le - \frac{2}{3} \pi}\) to \(\displaystyle{ -\frac{2}{3} \pi \le \beta \le - \alpha + \frac{2}{3} \pi}\)
Suma pól tych obszarów na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \alpha 0 \beta }\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi ^2 }\) więc szukane prawdopodobieństwo będące stosunkiem pól wynosi \(\displaystyle{ P=\frac{1}{3} }\)