Tabletki (chyba trudne)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20770
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3517 razy

Tabletki (chyba trudne)

Post autor: a4karo »

W pojemniku jest 30 całych tabletek. Pacjent przyjmuje pół tabletki dziennie.
Codziennie wybiera losowo jedną sztukę leku z pojemnika. Jeżeli jest to cała tabletka, to łamie ją, jedną połowę zjada a drugą odkłada do pojemnika. Jeżeli jest to pół tabletki, to po prostu ją zjada.
Pewnego dnia pacjent stwierdził, że w pojemniku pozostała jedna sztuka leku (zdarzyło się to po raz pierwszy od kiedy zażywa leki z tego pojemnika). Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to cała tabletka?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8248
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 274 razy
Pomógł: 3220 razy

Re: Tabletki (chyba trudne)

Post autor: kerajs »

Użycie liczb Catalana upraszcza zadanie.
\(\displaystyle{
P= \frac{C_{29}}{C_{30}}= \frac{ {58 \choose 29}-{58 \choose 30} }{{60 \choose 30}-{60 \choose 31} } }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20770
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3517 razy

Re: Tabletki (chyba trudne)

Post autor: a4karo »

Pewnie jakoś upraszcza. Ale zrobiłem drzewko dla trzech tabletek (O oznacza cała tabletkę, D - połówkę) i nie wychodzi mi iloraz `C_2/C_3`
Drzewko dla trzech tabletek
Drzewko dla trzech tabletek
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 34
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 31 razy

Re: Tabletki (chyba trudne)

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Nie wiem jaki wynik wychodzi, ale w Twoje drzewko można nieco zoptymalizować poprzez złączenie takich samych poddrzew \(DO\). Wyniki można obliczać korzystając ze wzoru rekurencyjnego \(\displaystyle{ P(D^pO^{s-p})=\frac {p+1}{s+1} P(D^{p+1}O^{s-p})+\frac {s-p+1}{s} P(D^{p-1}O^{s-p+1})}\). Dla trzech tabletek to jest taka tabelka:
tabletki.png
tabletki.png (21.89 KiB) Przejrzano 180 razy
Ostatnia wartość w każdym wierszu jest niepotrzebna, ale dzięki niej mamy sprawdzenie, że na koniec dostaliśmy \(P(D)=P(O)+P(DD)=1\).
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 34
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 31 razy

Re: Tabletki (chyba trudne)

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Dla \(30\) tabletek przybliżony wynik to \(P(O)\approx0{,}1792\) według arkusza kalkulacyjnego.
tabletki_arkusz.png
ODPOWIEDZ