W miasteczku akademickim znajdują się dwie stołówki. Przyjmujemy, że w porze obiadowej 400 studentów chce jednocześnie zjeść obiad, przy czym wybierają oni stolówkę losowo i niezależnie od siebie.
Ile miejsc należy przygotować w kazdej ze stołówek (w obu tyle samo) aby prawdopodobieństwo, że w dowolnej z nich zabraknie miejsc bylo mniejsze niz 10%
WSKAZÓWKA: skorzystaj z przybliżenia Centralnym Twierdzeniem Granicznym de Moivre a-Laplace'a.
Stołówka, zadanie z CTG
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 262
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 69 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Stołówka, zadanie z CTG
Rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ \mathcal{B}(n,p) = \mathcal{B}\left(400, \frac{1}{2} \right). }\)
\(\displaystyle{ n p = 400 \cdot \frac{1}{2}= 200, \ \ \sqrt{n p q} = \sqrt{200\cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10.}\)
Jle musi być miejsc przynajmniej w każdej stołówce, żeby niezabrakło ?
\(\displaystyle{ Pr( n p - d \leq S_{n} \leq np +d ) = \frac{1}{2}. }\)
\(\displaystyle{ Pr\left( \frac{-d}{\sqrt{npq}} \leq \frac{S_{n} -np}{\sqrt{npq}} \leq \frac{d}{\sqrt{npq}} \right)= \frac{1}{2},}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) - \phi\left(\frac{-d}{\sqrt{npq}}\right) = \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) - 1 +\phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) = 2 \phi\left(\frac{d}{\sqrt{npq}}\right) -1 = \frac{1}{2}.}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) = 0,750,}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) = \phi(0,675), }\)
\(\displaystyle{ d = 0,675 \sqrt{npq} = 0,675\cdot 10 = 6,75 \approx 7 }\) miejsc.
Żeby nie zabrakło miejsc, musi być \(\displaystyle{ 193 \leq S_{400} \leq 207. }\)
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia :
\(\displaystyle{ Pr(\{ 193 \leq S_{400} \leq 207 \} ) = Pr \left( \frac{193-200}{10} \leq \frac{ S_{400} -400}{10} \leq \frac{207-200}{10} \right)= Pr\left( -0,7 \leq \frac{S_{400} - 400\cdot 0,5}{10} \leq 0,7\right) \approx }\)
\(\displaystyle{ \approx \phi( 0,7) - \phi(-0.7) = 2\phi(0,7) -1 = 0,516. }\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że zabraknie miejsc jest równe \(\displaystyle{ 1 - 0,516 = 0,484. }\)
Z treści zadania wynika, że musimy zmniejszyć to prawdopodobieństwo do \(\displaystyle{ 10\% = 0,10,}\)
to znaczy \(\displaystyle{ 2 \phi \left(\frac{m}{\sqrt{npq}} \right) -1 = 0,90, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ m }\) jest nadwyżką miejsx ponad \(\displaystyle{ 200.}\)
\(\displaystyle{ \phi \left( \frac{m}{\sqrt{npq}} \right) \approx \phi\left(1,65 \right)}\)
\(\displaystyle{ m = 10\cdot 1,65 = 17 }\) miejsc.
W obu stołówkach powinno być co najmniej \(\displaystyle{ 217 }\) miejsc.
\(\displaystyle{ n p = 400 \cdot \frac{1}{2}= 200, \ \ \sqrt{n p q} = \sqrt{200\cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10.}\)
Jle musi być miejsc przynajmniej w każdej stołówce, żeby niezabrakło ?
\(\displaystyle{ Pr( n p - d \leq S_{n} \leq np +d ) = \frac{1}{2}. }\)
\(\displaystyle{ Pr\left( \frac{-d}{\sqrt{npq}} \leq \frac{S_{n} -np}{\sqrt{npq}} \leq \frac{d}{\sqrt{npq}} \right)= \frac{1}{2},}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) - \phi\left(\frac{-d}{\sqrt{npq}}\right) = \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) - 1 +\phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) = 2 \phi\left(\frac{d}{\sqrt{npq}}\right) -1 = \frac{1}{2}.}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) = 0,750,}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{d}{\sqrt{n p q}}\right) = \phi(0,675), }\)
\(\displaystyle{ d = 0,675 \sqrt{npq} = 0,675\cdot 10 = 6,75 \approx 7 }\) miejsc.
Żeby nie zabrakło miejsc, musi być \(\displaystyle{ 193 \leq S_{400} \leq 207. }\)
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia :
\(\displaystyle{ Pr(\{ 193 \leq S_{400} \leq 207 \} ) = Pr \left( \frac{193-200}{10} \leq \frac{ S_{400} -400}{10} \leq \frac{207-200}{10} \right)= Pr\left( -0,7 \leq \frac{S_{400} - 400\cdot 0,5}{10} \leq 0,7\right) \approx }\)
\(\displaystyle{ \approx \phi( 0,7) - \phi(-0.7) = 2\phi(0,7) -1 = 0,516. }\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że zabraknie miejsc jest równe \(\displaystyle{ 1 - 0,516 = 0,484. }\)
Z treści zadania wynika, że musimy zmniejszyć to prawdopodobieństwo do \(\displaystyle{ 10\% = 0,10,}\)
to znaczy \(\displaystyle{ 2 \phi \left(\frac{m}{\sqrt{npq}} \right) -1 = 0,90, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ m }\) jest nadwyżką miejsx ponad \(\displaystyle{ 200.}\)
\(\displaystyle{ \phi \left( \frac{m}{\sqrt{npq}} \right) \approx \phi\left(1,65 \right)}\)
\(\displaystyle{ m = 10\cdot 1,65 = 17 }\) miejsc.
W obu stołówkach powinno być co najmniej \(\displaystyle{ 217 }\) miejsc.