Słaba zbieżność ciągu według dystrybuanty

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
aneta909811
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 68 razy

Słaba zbieżność ciągu według dystrybuanty

Post autor: aneta909811 »

Niech \(\displaystyle{ \left( X_{n}, n \ge 1\right) }\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o dystrybuantach

\(\displaystyle{ F_{n}\left( x\right)= \begin{cases} e^ {\frac{-n}{x} } \quad x>0 \\ 0 \quad poza \end{cases} }\)


Zbadać słabą zbieżność ciągu \(\displaystyle{ \left( \frac{M_{n}}{n^2} , n \ge 1 \right) }\), gdzie \(\displaystyle{ M_{n}=\max\left\{ X_{1}, ..., X_{n}\right\} }\)?


Jaki jest schemat rozwiązywania tych zadań?
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2022, o 01:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Słaba zbieżność ciągu według dystrybuanty

Post autor: a4karo »

Jak w poprzednim, tylko zastanów się, czy funkcje `F_n` mogą być dystrybuantami.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Słaba zbieżność ciągu według dystrybuanty

Post autor: janusz47 »

W przypadku gdy \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,...,n }\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, obliczamy dystrybuanatę

\(\displaystyle{ F_{M_{n}}(x) }\) - iloczyn \(\displaystyle{ n }\) dystrybuant \(\displaystyle{ F_{n}(x), \ \ x> 0. }\)

Tworzymy \(\displaystyle{ n-ty }\) wyraz ciągu \(\displaystyle{ \frac{ F_{M_{n}}(x)}{n^2}. }\)

Obliczamy jego granicę przy \(\displaystyle{ n\rightarrow \infty, \ \ x>0. }\)
ODPOWIEDZ