Matematyka.pl

Cześć,
mam zadanie o treści:
Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypadnie co najmniej dwa razy.

Zadanie wiem jak zrobić, gdy sobie to rozpiszę, że przestrzeń to będzie \(\displaystyle{ 2 ^{3} }\), natomiast liczba sprzyjająca zdarzeniu to 4 ( bo albo orzeł wypadnie przy każdym rzucie, albo orzeł wypadnie przy pierwszym i drugim rzucie, przy drugim i trzecim lub przy pierwszym i trzecim)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{4}{8}= \frac{1}{2} }\)

Problem polega na tym, że nie wiem z jakiego wzoru skorzystać, aby wyliczyć moc tego zdarzenia, bez rozpisywania.
A co jeśli byłoby zdarzenie (hipotetyczne) takie, że rzucamy 20-krotnie monetą, i mam obliczyć prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypadnie 13 razy.?
A co jeśli będziemy rzucać dwudziestościanem foremnym 50 razy, gdzie każda ściana jest ponumerowana od 1-20, i mam obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wypadnie przynajmniej 15 oczek. (hipotetyczny przykład)

Dodano po 2 minutach 41 sekundach:
Dopóki jest to przykład, gdzie można szybko rozpisać, albo wyobrazić sobie to jest łatwe, a co właśnie w przypadku trudniejszych zadań, gdzie rozpisywanie będzie uciążliwe i żmudne?

Twój sposób jest dobry, można też zauważyć że z uwagi na symetrię szukane prawdopodobieństwo jest takie samo jak zdarzenia przeciwnego - wypadnięcia przynajmniej dwóch reszek - a zatem oba muszą wynosić po jednej drugiej.

Damieux pisze: ↑7 sty 2024, o 23:03A co jeśli byłoby zdarzenie (hipotetyczne) takie, że rzucamy 20-krotnie monetą, i mam obliczyć prawdopodobieństwo tego, że orzeł wypadnie 13 razy.?

Ze schematu Bernoulliego takie prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \binom{20}{13} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{20}}\).

Damieux pisze: ↑7 sty 2024, o 23:03A co jeśli będziemy rzucać dwudziestościanem foremnym 50 razy, gdzie każda ściana jest ponumerowana od 1-20, i mam obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wypadnie przynajmniej 15 oczek.

To znaczy: w przynajmniej jednym rzucie? Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to \(\displaystyle{ \left( \frac{14}{20} \right)^{50}}\), wystarczy więc odjąć tę liczbę od jedynki.

Damieux pisze: ↑7 sty 2024, o 23:03a co właśnie w przypadku trudniejszych zadań, gdzie rozpisywanie będzie uciążliwe i żmudne?

Czasem jest sprytny sposób, czasem nie - wszystko zależy od konkretnego zadania. Na przykład na prawdopodobieństwo, że przy trzydziestu rzutach uczciwą monetą wypadnie co najwyżej siedem orłów, chyba nie ma prostszego wzoru niż suma: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^7 \binom{30}{k} \left( \frac{1}{20} \right)^{30}}\). Można jedynie przybliżać to prawdopodobieństwo z użyciem Centralnego Twierdzenia Granicznego (dla dostatecznie dużej liczby rzutów).