Matematyka.pl

Zad. Rzucamy kostką do otrzymania "jedynki".
Jakie jest p-podobieństwo, że wykonamy nieparzystą liczbę rzutów.

A- nieparzysta liczba rzutów

\(\displaystyle{ \Omega= { 6, 56, 556 ...}}\)
\(\displaystyle{ w_i}\) - uzyskane wyniki w w i-tym rzucie
\(\displaystyle{ p_1= p({w_i}) , i=1,2..}\)

\(\displaystyle{ p_1= p({w_1}) = \frac{1}{6} }\)
\(\displaystyle{ p_3= p({w_3})= \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} }\)

\(\displaystyle{ P(A) = p_1+p_3+...}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + ...}\)

\(\displaystyle{ P(A) = ( \frac{5}{6} )^{2n} \cdot \frac{1}{6} }\)


Czy, to wszystko ? , ale chyba powinien wyjść jakiś ostateczny wynik, ale nie umiem dalej zrobić ? bo przecież tych \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)

Klaudiuska88 pisze: ↑16 kwie 2023, o 23:30

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + ...}\)

Należało to pociągnąć dalej:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^4 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^6 \cdot \frac{1}{6} + ...=\\
=\frac{1}{6} \left[ 1+(\frac{5}{6})^2+(\frac{5}{6})^4+(\frac{5}{6})^6+...\right] = \frac{1}{6} \frac{1}{1-(\frac{5}{6})^2}= \frac{6}{11}

}\)