Matematyka.pl

Witam,

Rozważam doświadczenie losowe takie w którym mogę odnieść sukces lub ponieść porażkę czyli mam możliwe dwie sytuację.Wykonuję doświadczenie tak długo aż odniosę sukces. Przykładowo może to być rzut kostką, gdzie rzucam tak długo aż wypadnie 6 oczek lub na przykład rzut monetą tak długo aż wypadnie reszka pierwszy raz.

Pytanie jakie jest prawdopodbieństwo, że \(\displaystyle{ n}\) tej próbie uzykam pierwszy raz sukces?
Można na to spojrzeć tak, że dla jednej próby zakładam, że:

\(\displaystyle{ p}\) - prawdopodobieństwo sukcesu
\(\displaystyle{ q = 1-p}\) - prawdopodobieństwo porażki.

Definiujemy zmienną losową jako:
\(\displaystyle{ X}\)- zmienna losowa oznaczająca liczbę prób potrzebnych do otrzymania sukcesu \(\displaystyle{ X \in \left\{ 1,2,...,n \right\}}\)
Można napisać, że prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X = n}\) wynosi:

\(\displaystyle{ p(X = n) = q^{n-1} \cdot p}\)

Jest to tak zwany rozkład geometryczny.
To jest jasne, ale z drugiej strony możemy założyć, ze mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym(Bernoulliego), gdzie prawdopodobieństwo jednego sukcesu w n próbach jest równe:

\(\displaystyle{ p_{n}(1) = {n\choose 1} \cdot p^{1} \cdot q^{n-1} = n \cdot p \cdot q^{n-1}}\)

Czyli traktuję to zdarzenie jako uzyskanie w n próbach jednego sukcesu . Pytanie czym się różnią od siebie te dwie sytuację? Wedługo mnie pozornie niczym. Wzory jednak są inne. Jak zatem uzasadnić, że są to dwie różne sytuację? Na czym polega różnica?

Jest diametralna różnica. Rozkład dwumianowy jest prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ k}\) sukcesów w \(\displaystyle{ n}\) próbach i tyle. Rozkład geometryczny, jest to szczególny przypadek rozkładu Pascala (ujemny rozkład dwumianowy). Rozkład Pascala jest to CZAS oczekiwania na \(\displaystyle{ m}\)-ty sukces w próbach Bernoulliego, jeśli założymy \(\displaystyle{ m=1}\) to uzyskamy właśnie rozkład geometryczny, czyli CZAS oczekiwania na pierwszy sukces.

W schemacie Bernoulliego mnożysz przez n, bo ten sukces może nastąpić w jednej z n prób.

No tak, dzięki Kropka+, prosta sprawa