Matematyka.pl

Dzień dobry,

mam pewne wątpliwości co do terminologii używanej w rachunku prawdopodobieństwa... wiele razy widziałem wykresy "rozkładu prawdopodobieństwa" i czy w takiej sytuacji autorzy tych rysunków mają na myśli "gęstość rozkładu prawdopodobieństwa" ? Np. jeśli weźmiemy sobie wykres rozkładu normalnego to rozumiem że to co zobaczymy to tak na prawdę jest gęstość rozkładu normalnego?

A dla np. dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa to co mamy na wykresie który jest wykresem rozkładu to są wartości prawdopodobieństwa?

Czy mają gęstość rozkładu normalnego możemy jakoś narysować rozkład prawdopodobieństwa?

Niestety, bardzo mi się myli kiedy mówimy o rozkładzie prawdopodobieństwa a kiedy o gęstości rozkładu prawdopodobieństwa i co jest czym wtedy... czy ktoś mógłbym mi wyjaśnić na czym polegają te dwa różne pojęcia - pytam o takie "jakościowe" różnice. Zaliczyłem kurs z teorii miary więc jeśli wytłumaczenie o bardziej matematycznym podłożu jest bardziej wykonalne to się również bardzo ucieszę z pomocy.

Dziękują za pomoc.

Rozkład zmiennej losowej jest miarą borelowską na sigma-ciele podzbiorów borelowskich w \(\RR\). Co więcej, jeśli mamy probabilistyczną miarę Borela, to zawsze istnieje zmienna losowa o rozkładzie danym tą miarą. Rozkład zmiennej losowej \(X\colon\Omega\to\RR\) określa wzór \(\mu_X(A)=P\bigl(X^{-1}(A)\bigr)\) dla \(A\in\mathcal{B}(\RR)\). W każdym razie rozkład istnieje sobie niejako niezależnie od samej zmiennej losowej.

Cóż to jest gęstość rozkładu? Jest to funkcja, która podaje ten rozkład dla zmiennej ciągłej. W definicji gęstości zmiennej losowej ciągłej masz\[P(a\leqslant X<b)=\int\limits_a^bf(x)\text{d}x.\] Będzie więc też \(\mu_X(A)=\int_Af(x)\text{d}x.\) A z teorii miary wiemy, że jeśli \(f\) jest nieujemną funkcją całkowalną, to wzór\[\mu(A)=\int\limits_Af(x)\text{d}x\]określa właśnie miarę na podzbiorach \(\RR\) mierzalnych w sensie Lebesgue'a (zbiory borelowskie są mierzalne w sensie Lebesgue'a).

Tak więc odpowiadając na Twoje zasadnicze pytanie, to tak. Autorzy podręczników nie będący matematykami pod słowem rozkład rozumieją jego gęstość (albo funkcję prawdopodobieństwa dla zmiennych dyskretnych).

Ogólnie zmienna losowa jest sumą trzech zmiennych: ciągłej, skokowej i osobliwej (oczywiście niektóre z tych części mogą być zerowe). Co to jest funkcja osobliwa? To taka, której pochodna jest prawie wszędzie zerowa, a sama funkcja nie jest stała. Istnieje silnie rosnąca funkcja osobliwa. Jest nią np. funkcja Cantora.

Fantastyczna odpowiedź. Myślę że zrozumiałem wątpliwości związane ze stosowanym językiem. Ostatnio wdrążyłem się w kilka pozycji opartych na rachunku prawdopodobieństwa które rachunek prawdopodobieństwa wykorzystują bardziej jako narzędzie i tam wykorzystywany język czasami wzbudzał pewne wątpliwości. Bardzo dziękuję za wyjaśnienie.


"To taka, której pochodna jest prawie wszędzie zerowa, a sama funkcja nie jest stała. Istnieje silnie rosnąca funkcja osobliwa. Jest nią np. funkcja Cantora."

Bardzo ciekawe, postaram się o tym poczytać.

mmss pisze: ↑14 lis 2020, o 22:55 "To taka, której pochodna jest prawie wszędzie zerowa, a sama funkcja nie jest stała. Istnieje silnie rosnąca funkcja osobliwa. Jest nią np. funkcja Cantora."

Bardzo ciekawe, postaram się o tym poczytać.

Miło poczytać takie słowa.

Co do tej funkcji to zobacz do Wstępu do teorii funkcji rzeczywistych Stanisława Łojasiewicza.

Natomiast świetny pogląd na kwestie prawdopodobieństwa pod kątem teorii miary daje książka Prawdopodobieństwo i miara Patricka Billingsleya. Tam chyba jest napisane o tej sumie trzech części. Szukałem przed chwilą, ale na szybko nie znalazłem. Ale to naprawdę piękna książka.