Matematyka.pl

Mam takie zadanie: zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{X}}\). Chcę to zrobić poprzez znalezienie dystrybuanty \(\displaystyle{ Y}\). Niestety wynik nie zgadza mi się z odpowiedzią, czy robię coś źle?

\(\displaystyle{ F \left( y \right) =P \left( Y \le y \right) =P \left( \frac{1}{X} \le y \right) =P \left( yX \ge 1 \right)}\)

I teraz w zależności od tego czy \(\displaystyle{ y}\) jest większe lub mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) będę miał \(\displaystyle{ P \left( X \le \frac{1}{y} \right)}\) dla \(\displaystyle{ y \le 0}\) oraz \(\displaystyle{ P \left( X \ge \frac{1}{y} \right)}\) dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\), zgadza się? I dalej na podstawie tego rozważam przypadki dla \(\displaystyle{ y<-1}\), \(\displaystyle{ y \in \left[ -1,0\right]}\), \(\displaystyle{ y \in \left[ 0,1\right]}\) oraz \(\displaystyle{ y>1}\).
Na przykład w przypadku pierwszym mam \(\displaystyle{ P \left( X \le \frac{1}{y} \right)}\) co jest równe dystrybuancie rozkładu \(\displaystyle{ X}\) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{y}}\), przy czym \(\displaystyle{ \frac{1}{y}}\) jest w przedziale \(\displaystyle{ \left[ -1,0\right]}\) zatem \(\displaystyle{ F \left( \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{2y} + \frac{1}{2}}\) wg. odpowiedzi natomiast powinno być \(\displaystyle{ -\frac{1}{2y}}\)

Dystrybuanta musi być słaborosnąca. Wg twojego wzoru będzie malejąca.