- Zrzut ekranu 2024-02-12 212423.png (32.22 KiB) Przejrzano 235 razy
Rozkład X+Y
-
MarekZGrabiny
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 1 lut 2023, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Rozkład X+Y
Mam takie dwa zadanka:
Nie wiem do końca jak wyznaczyć rozkład i gęstość X+Y. Skorzystać tutaj ze splotu? Proszę o pomoc.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rozkład X+Y
Dana jest gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y) }\)
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = \begin{cases} 1 \ \ \text{dla} \ \ 0 \leq y \leq 1 \ \ \text{i} \ \ y\leq x \ \ \text{i} \ \ y\leq 2-x, \\ 0 \ \ \text{w pozostałych przypadkach} \end{cases} }\)
Mamy wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y }\) i zbadać, czy jest to rozkład absolutnie ciągły.
Jeśli wykonamy rysunek w układzie kartezjańskim \(\displaystyle{ Oxy, }\) to stwierdzimy, że zbiór
\(\displaystyle{ \Omega = \{(x,y) \in \RR^2 : \ \ 0 \leq y \leq 1 \ \ \text{i} \ \ y\leq x \ \ \text{i} \ \ y\leq 2-x\} }\) jest trójkątem o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), \ \ (2,0), (1,1). }\)
Niech \(\displaystyle{ z = x+y, \ \ \text{i} \ \ x = u. }\)
\(\displaystyle{ x = u, \ \ y = z-u. }\)
Jakobian tego przekształcenia
\(\displaystyle{ J(z,u) = \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| = 1\neq 0.}\)
Obrazem zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) w tym przekształceniu jest zbiór
\(\displaystyle{ \Delta = \{(z,u)\in \RR^2: \ \ z-1 \leq u \leq z \ \ \text{i} \ \ u \geq \frac{z}{2} \ \ \text{i} \ \ z\leq 2 \}. }\)
Zbiór \(\displaystyle{ \Delta }\) jest trójkątem o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), \ \ (2, 1), \ \ (2, 2). }\)
\(\displaystyle{ g_{Z}(z,u) = \begin{cases} 1 \ \ \text{dla} \ \ (z,u) \in \Delta \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ (x, z) \notin \Delta \end{cases} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ g_{X+Y} (z, u) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ z< 0 \\ \int_{\frac{z}{2}}^{z} 1 du = \frac{z}{2} \ \ \text{dla} \ \ 0 \leq z < 2 \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ z\geq 2 \end{cases} }\)
Czy to jest rozkład absolutnie ciągły ?
Nie jest to rozkład absolutnie ciągły. Funkcja gęstości tego rozkładu \(\displaystyle{ g_{X+Y} }\) ma dwa skoki w punktach \(\displaystyle{ (0,0), \ \ (2,0).}\)
Zadanie 5 rozwiązujemy podobnie, znajdując najpierw gęstość łączną \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) }\) jako iloczyn gęstości zmiennych losowych \(\displaystyle{ X }\) i \(\displaystyle{ Y.}\)
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = \begin{cases} 1 \ \ \text{dla} \ \ 0 \leq y \leq 1 \ \ \text{i} \ \ y\leq x \ \ \text{i} \ \ y\leq 2-x, \\ 0 \ \ \text{w pozostałych przypadkach} \end{cases} }\)
Mamy wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y }\) i zbadać, czy jest to rozkład absolutnie ciągły.
Jeśli wykonamy rysunek w układzie kartezjańskim \(\displaystyle{ Oxy, }\) to stwierdzimy, że zbiór
\(\displaystyle{ \Omega = \{(x,y) \in \RR^2 : \ \ 0 \leq y \leq 1 \ \ \text{i} \ \ y\leq x \ \ \text{i} \ \ y\leq 2-x\} }\) jest trójkątem o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), \ \ (2,0), (1,1). }\)
Niech \(\displaystyle{ z = x+y, \ \ \text{i} \ \ x = u. }\)
\(\displaystyle{ x = u, \ \ y = z-u. }\)
Jakobian tego przekształcenia
\(\displaystyle{ J(z,u) = \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| = 1\neq 0.}\)
Obrazem zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) w tym przekształceniu jest zbiór
\(\displaystyle{ \Delta = \{(z,u)\in \RR^2: \ \ z-1 \leq u \leq z \ \ \text{i} \ \ u \geq \frac{z}{2} \ \ \text{i} \ \ z\leq 2 \}. }\)
Zbiór \(\displaystyle{ \Delta }\) jest trójkątem o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), \ \ (2, 1), \ \ (2, 2). }\)
\(\displaystyle{ g_{Z}(z,u) = \begin{cases} 1 \ \ \text{dla} \ \ (z,u) \in \Delta \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ (x, z) \notin \Delta \end{cases} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ g_{X+Y} (z, u) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ z< 0 \\ \int_{\frac{z}{2}}^{z} 1 du = \frac{z}{2} \ \ \text{dla} \ \ 0 \leq z < 2 \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ z\geq 2 \end{cases} }\)
Czy to jest rozkład absolutnie ciągły ?
Nie jest to rozkład absolutnie ciągły. Funkcja gęstości tego rozkładu \(\displaystyle{ g_{X+Y} }\) ma dwa skoki w punktach \(\displaystyle{ (0,0), \ \ (2,0).}\)
Zadanie 5 rozwiązujemy podobnie, znajdując najpierw gęstość łączną \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) }\) jako iloczyn gęstości zmiennych losowych \(\displaystyle{ X }\) i \(\displaystyle{ Y.}\)