Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Wśród akumulatorów w pewnym sklepie internetowym znajdują się produkty oryginalne i podróbki, przy czym klient nie wie, który produkt otrzyma. Czas działania oryginalnego akumulatora ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ 100\, [h]}\). Czas działania podróbki również ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ 50\, [h].}\)
Proszę wyznaczyć dystrybuantę działania losowo kupionego akumulatora i wyznaczyć jego wartość oczekiwaną oraz wariancję.

Z własności rozkładu wykładniczego udało mi się wyznaczyć parametr \(\displaystyle{ λ = 0,01}\) dla akumulatora oryginalnego i \(\displaystyle{ λ = 0,02}\) dla podróbki. Nie wiem jednak co zrobić dalej...

Model pierwszy

Kupna on-line każdego akumulatora są zdarzeniami niezależnymi.

1. Obliczamy gęstość łączną

\(\displaystyle{ f(t) =\int_{0}^{t} f_{1}(t')\cdot f_{2}(z-t')dt'.}\)

2. Obliczamy łączna wartość oczekiwaną czasu działania akumulatorów

\(\displaystyle{ m = m_{1} + m_{2} }\)

3. Obliczamy łączna wariancję czasu działania akumulatorów

\(\displaystyle{ \sigma^2 = \int_{0}^{t} (t - m)^2 f(t) dt. }\)

lub ze wzoru

\(\displaystyle{ \sigma^2 = \int_{0}^{t} t^2f(t) - m^2.}\)


Model drugi

Przyjmujemy dystrybuantę łączną dla akumulatora oryginalnego i jego podróbki w postaci

\(\displaystyle{ F(t) = \frac{1}{2}F_{1}(t) + \frac{1}{2}F_{2}(t).}\)

\(\displaystyle{ F(t) = \frac{1}{2}(1 - e^{-0,01t}) + \frac{1}{2}(1 - e^{-0,02t}), \ \ t >0 \ \ (1)}\)

Oznaczając przez \(\displaystyle{ P_{i} }\) rozkład o dystrybuancie \(\displaystyle{ F_{i}, \ \ i = 1,2 , }\) możemy rozkład \(\displaystyle{ P }\) o dystrybuancie \(\displaystyle{ (1) }\) zapisać w postaci

\(\displaystyle{ P(t) = \frac{1}{2}P_{1}(t) + \frac{1}{2}P_{2}(t). }\)

Rozkłady \(\displaystyle{ P_{1} , P_{2} }\) są rozkładami wykładniczymi o gęstościach odpowiednio

\(\displaystyle{ f_{1}(t) = F'_{1}(t) = 0,01 e^{- 0,01t}, \ \ f_{2}(t) = F'_{2}(t) = 0,02e^{-0,02t}, \ \ t>0.}\)

Wartość średnia każdego z nich jest równa \(\displaystyle{ m_{1} = 100 h , \ \ m_{2} = 50 h }\) i wariancja \(\displaystyle{ \sigma^2_{1} = 10000 h^2, \ \ \sigma^2_{2} = 2500 h^2. }\)

Wartość oczekiwana losowo kupionego akumulatora

\(\displaystyle{ m = \frac{1}{2} m_{1} + \frac{1}{2}m_{2} = \frac{1}{2}100 h + \frac{1}{2}50h = 125 h,}\)

Wariancja losowo kupionego akumulatora

\(\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{1}{2}\sigma^2_{1} + \frac{1}{2} \sigma^2_{2} =\frac{1}{2}\cdot 10000 h^2 + \frac{1}{2}\cdot 2500 h^2 = 5000 h^2 + 1250h^2 = 6250 h^2.}\)

Dodano po 8 godzinach 2 minutach 33 sekundach:
Korekta

\(\displaystyle{ m = \frac{1}{2} m_{1} + \frac{1}{2}m_{2} = \frac{1}{2}100 h + \frac{1}{2}50h = 75 h.}\)