Matematyka.pl

Wyznaczyć rozkład sumy szkód \(\displaystyle{ X_{1}+X_{2}}\) oraz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( 8 \le X_{1}+X_{2} \le 14 \right) }\) wiedzać, że szkody są niezależne i mają identyczne rozkłday o dystrybuancie

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0&\text{dla }x<0 \\ 0.6+0.02x &\text{dla }x\in[0;10) \\ 1 &\text{dla }x \ge 10 \end{cases} }\)

Zapisujemy te same wzory dystrybuanty - jeden ze zmienną \(\displaystyle{ x, \ \ F_{X_{1}}(x) }\), drugi ze zmienną \(\displaystyle{ y, \ \ F_{X_{2}}(y). }\)

Znajdujemy funkcje gęstości zmiennych losowych \(\displaystyle{ f_{X_{1}}(x), \ \ f_{X_{2}}(y). }\)

Znajdujemy gęstość łączną \(\displaystyle{ f_{(X_{1},X_{2})} (x,y) }\) wykorzystując założenie, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2} }\) są niezależne.

Znajdujemy gęstość sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ f_{(X_{1}+X_{2})} (x, y). }\)

Obliczamy wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P\left( \{8 \le X_{1}+X_{2} \le 14\}\right).}\)

Drugi sposób

Znajdujemy dystrybuantę sumy zmiennych losowych, obliczając splot dystrybuant:

\(\displaystyle{ F_{X_{1}+X_{2}} + F_{X_{1}}(x) * F_{X_{2}}(y). }\)

Znajdujemy gęstość sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ f_{X_{1}+X_{2}}(x,y). }\)

Obliczamy wartość prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ \{ 8\leq X_{1}+X_{2}\leq 14\}. }\)