Matematyka.pl

znalezc prawdopodobienstwo ze pierwiastki rownania kwadratowego \(\displaystyle{ a ^{2} +2bx+a=0}\) sa rzeczywiste,jezeli wartosci wspolczynnikow moga przyjmowac z jednakowym prawdopodobienstwem kazda z warosci w prostokacie \(\displaystyle{ |a| qslant 2 , |b| qslant 1}\)

to rownanie jest postaci :
\(\displaystyle{ a^2+bx+a=0}\)?
czy moze \(\displaystyle{ x^2+bx+a=0}\) ??

\(\displaystyle{ x^2+2bx+a=0}\) sorki za pomylke

Jesli \(\displaystyle{ x^2+bx+a=0}\) ma miec pierwiastki rzeczystwiste, to:
\(\displaystyle{ \Delta\geq 0 \iff b^2-4a\geq 0}\)
Stad:
\(\displaystyle{ b^2\geq 4a}\)
Wowczas, prawdopobienstwo wynosi:
\(\displaystyle{ \mathfrak{P}=\frac{\int\limits_{-1}^{1} \frac{b^2}{4}-(-2)\mbox{ db}}{\int\limits_{-1}^{1}2-(-2)\mbox{ db}}}\)

dzieki !!!!

a co oznacza ta dwójka?

ta dwojka wynika z ograniczenia:
\(\displaystyle{ |a|\leq 2}\)

a jakby to zad wyglądało dla \(\displaystyle{ x ^{2}+2ax+b=0}\) ??

Co mojego pierwotnego zadania, przyklad został rozwiazany dla rownania postaci:
\(\displaystyle{ x^2+bx+a=0}\)
Dla rownania w postaci:
\(\displaystyle{ x^2+2bx+a=0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \mathfrak{P}==\frac{\int\limits_{-1}^{1} b^2-(-2)\mbox{ db}}{\int\limits_{-1}^{1}2-(-2)\mbox{ db}}}\)
Natomiast, dla:
\(\displaystyle{ x^2+2ax+b=0}\)
Prawdopobienstwo wynosi:
\(\displaystyle{ \mathfrak{P}==\frac{2(\int\limits_{-1}^{0}2\mbox{ db}+\int\limits_{0}^{1} 2 - \sqrt{b}\mbox{ db})}{\int\limits_{-1}^{1}2-(-2)\mbox{ db}}}\)

z tego powinno wyjsc 5/6? bo mi tak nie wychodzi

całka w mianownika wynosi \(\displaystyle{ 8}\)
Co do całki w liczniku:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}2-b^2 \mbox{ db}=4-2\int\limits_{0}^{1}b^2 \mbox{ db}=4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}}\)
Zatem, mamy:
\(\displaystyle{ \mathfrak{P}=\frac{\frac{10}{3}}{8}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}}\)

[edit] prawidłowe rozwiazanie
\(\displaystyle{ \boxed{\mathfrak{P}==\frac{2(\int\limits_{-1}^{0}2\mbox{ db}+\int\limits_{0}^{1} 2 - \sqrt{b}\mbox{ db})}{\int\limits_{-1}^{1}2-(-2)\mbox{ db}}=\frac{5}{6}}}\)

dzięki za pomoc. ale chyba jednak cos nie do konca jest poprawnie bo w odpowiedzi jest 5/6

narvana87 pisze:dzięki za pomoc. ale chyba jednak cos nie do konca jest poprawnie bo w odpowiedzi jest 5/6

a czy załozenia w zadaniu sa takie same tzn, ze \(\displaystyle{ |a|\leq 2, |b|\leq 1}\) ??

tak wszystko jest ok.
całe zadanie brzmi tak:
Wybieramy losowo parę liczb (a,b) z prostokąta \(\displaystyle{ [-2,2] [-1,1]}\). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pierwiastki równania\(\displaystyle{ x ^{2}+2ax+b=0}\) są rzeczywiste.

ok znalazlem, blad..
powinno byc teraz OK
Niech:
\(\displaystyle{ (a,b)\in [-2,2]\times [-1,1]}\)
oraz niech \(\displaystyle{ x^2+2ax+b=0}\) posiada pierwiastki rzeczywiste, wowczas:
\(\displaystyle{ 4a^2\geq 4b\\a^2\geq b}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ P=1-\frac{\int\limits_{-1}^{1}1-a^2\mbox{ da}}{\int\limits_{-2}^{2}1-(-1)\mbox{ da}}=\frac{5}{6}}\)