Mamy zdarzenie o bardzo małym prawdopodobieństwie, mniejszym niż jedna milionowa, dążącym do zera. Oznaczmy je przez \(\displaystyle{ \frac{1}{N} }\). Jest to prawdopodobieństwo że wyliczony hasz będzie mniejszy (lub mniejszy lub równy, mała różnica) niż \(\displaystyle{ \frac{1}{N} }\) całego przedziału. Teraz liczymy k razy, aż to zdarzenie się wydarzy. Średnio oczywiście k=N.
Ale dla jednego takiego zdarzenia mamy bardzo duży rozrzut. Uśrednione po 1000 próbach jak liczyłem wariancję średniokwadratową to było około \(\displaystyle{ \frac{1}{500} }\). Bitcoin liczy średnią z 2016 bloków czyli 2 tygodni.
Teraz pytanie: jak wyliczyć średniokwadratowy błąd dla zadanej ilości prób, np dla 100 czy 1000, czy będzie to z grubsza funkcja liniowa czy kwadratowa? Drugie: jeśli N nie jest takie duże i prawdopodobieństwo nie dąży do zera, to czy błąd jeszcze się zwiększy? o ile, jak to móżna wyliczyć? Czy przy tych prawdopodobieństwach korzystamy z rozkładu Laplace'a ?
Związane z tym pytanie: jeśłi jeden górnik ma 2/3 mocy a drugi (atakujący) 1/3 wtedy co trzeci generowany blok będzie błędny. Jednak patrzymy na najdłuższy łańcuch, jakie prawdopodobieństwo że łancuch złych bloków będzie dłuższy, równy niż poprawny dla dlugości 2, 3 może 6 czy 10? Czy dla 6 będzie to \(\displaystyle{ 3^{-6} }\) co jest większe od jednej tysięcznej, czy też będzie to prawdopodobieństwo, znacznie mniejsze, pomijalne?
Dodano po 2 godzinach 19 sekundach:
Dodatkowo:
czas generowania jednego bloku jest bardzo nieregularny. Jakie prawdopodobieństwo że zajmie więcej niż 2 czy 3 razy średnia, albo krócej niż 2 czy 3 razy mniej niż średnia? Podobnie np. dla 6 bloków, jakie prawdopodobieństwo że będzie dłużej niż 30% czy 50% więcej od średniej?
Dodano po 1 dniu 22 godzinach 21 minutach 54 sekundach:
Zacznijmy od małych liczb. Ja rzucam kostką raz to będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) że wypadnie 6. Gdy rzucam kilka razy, najpierw będzie \(\displaystyle{ (\frac{5}{6})^{n-1} }\) pomnożone na koniec przez \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\). Trochę dziwne, ale wynika stąd że niezaleznie jak małe prawdopodobieństwo, najbardziej prawdopodobne że będzie za pierwszym razem, z drugiej strony, dąży to do rozkłądu Poissona, i prawdopodobieństwo że uda się za n-tym razem, gdy jedna próba ma prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) zdaje się dążyć do \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{e} }\)
Wyniki: próba,prawdopodobieństwo,dystrybuanta:
1: 0.166667 0.166667
2: 0.138889 0.305556
3: 0.115741 0.421296
4: 0.096451 0.517747
5: 0.080376 0.598122
6: 0.066980 0.665102
7: 0.055816 0.720918
8: 0.046514 0.767432
9: 0.038761 0.806193
10: 0.032301 0.838494
A teraz dwie próby. to że wypadnie za pierwszym razem będzie zero: za pierwszym i za drugim razem musi być co najmniej jeden rzut, więc minimalnie dwa. Dla 2 będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{36} }\), dla 3 będzie możliwe 1+2 i 2+1, to samo jakby rzucać raz dwiema kostkami, rozkład Bernoulliego.
\(\displaystyle{ \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}\) gdzie \(\displaystyle{ \binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}}\)
Czy teraz będzie dążyło do rozkładu normalnego gdy prawdopodobieństwo bardzo małe? Czy do Poissona?
Zostają pytania: dla jednej próby: prawdopodobieństwo że będzie w czasie oczekiwanym to 0.632=\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{e} }\), jakie prawdopodobieńsstwo że będzie to dwukrotność lub połowa tej ilości?
Drugie pytanie: dla 2-krotnej, 3-krotnej i ogólnie k, dwa pytania: jakie prawdopodobieństwo że będzie to o ileś procent mniejsze lub większe niż oczekiwane? i odwrotne - dla zadanego prawdopodobieństwa np 0.5 czy 0.632 czy 0.1 zneleźć te granice.
Dodano po 4 godzinach 15 minutach 35 sekundach:
Czas >=n * średni - prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ e^{-n} }\), z tego wynika czas mniejszy, krótszy m razy niż średnia \(\displaystyle{ 1-e^{- \frac{1}{m} }}\),c zyli raz na 500 tys bloków może być czas dłuższy 13 razy niż średnia, a 22.7 razy na 500 tys bo raz na 22 tys, na z czasem 10 dłuzszym.
Bardzo często czas krótszy niż połowa, w około 39% przypadków, w 9.5% przypadków czas krótszy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10} }\) średniego., co setny 100 razy krócej, co tysieczny, tysiąc razy. Oznacza to że gdy blok co 10 minut, to może przyjść już po sekundzie, nic dziwnego że mogą wystąpić forki.