Proces Poissona

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Pietras2001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Proces Poissona

Post autor: Pietras2001 »

Firma produkuje długopisy zgodnie z procesem Poissona z intensywnością 10 długopisów na minutę. Wyprodukowany
długopis może być koloru niebieskiego z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), czarnego z \(\displaystyle{ \frac{3}{10} }\), a czerwonego z pozostałym prawdopodobieństwem. Obliczyć:

a)prawdopodobieństwo, że pierwszy wyprodukowany długopis będzie koloru czerwonego

b)prawdopodobieństwo, że wyprodukowano przynajmniej 10 długopisów koloru niebieskiego, zanim pojawił
się trzeci długopis innego koloru.

W podpunkcie a wydaje mi się, że to po prostu \(\displaystyle{ \frac{2}{10} }\), bo sam proces nic tu nie zmieni
W podpunkcie b nie wiem jak to zapisać.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

b) Inaczej mówiąc, wśród dwunastu pierwszych długopisów jest przynajmniej dziesięć niebieskich. Oczywiście tu też proces Poissona nic istotnego nie wnosi.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: janusz47 »

Produkcję długopisów modelujemy jednorodnym - zliczającym procesem Poissona \(\displaystyle{ \{ N(t), \ \ t\geq 0\}. }\)

Wprowadzamy oznaczenia:

\(\displaystyle{ t_{N} }\) - czas wyprodukowania pierwszego długopisu koloru niebieskiego,

\(\displaystyle{ t_{C} }\) - czas wyprodukowania pierwszego długopisu koloru czarnego,

\(\displaystyle{ t_{Cz} }\) - czas wyprodukowania pierwszego długopisu koloru czerwonego.

\(\displaystyle{ N_{N}(t) }\) - ilość wyprodukowanych długopisów koloru niebieskiegow ciągu czasu \(\displaystyle{ t,}\)

\(\displaystyle{ N_{C}(t) }\) - ilość wyprodukowanych długopisów koloru czarnego w ciągu czasu \(\displaystyle{ t,}\)

\(\displaystyle{ N_{Cz}(t) }\) - ilość wyprodukowanych długopisów koloru czerwonego w ciągu czasu \(\displaystyle{ t.}\)


Obliczamy intensywność produkcji \(\displaystyle{ \lambda_{N}, \ \ \lambda_{C}, \ \ \lambda_{Cz} }\) poszczególnych kolorów długopisów.


Obliczamy prawdopodobieństwa zdarzeń:
a)
\(\displaystyle{ Pr\left(\{ \min ( t_{N}, t_{C}, t_{Cz}) = t_{Cz}\} \right),}\)

b)
\(\displaystyle{ Pr\left(\{ N_{N}(t)\geq 10 \wedge N_{C}(t)=0 \wedge N_{Cz}(t)=0\}\right) }\)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2023, o 15:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

janusz47 pisze: 28 sty 2023, o 11:34 b)
\(\displaystyle{ Pr\left(\{ N_{N}(t)\geq 10 \wedge N_{C}(t)=0 \wedge N_{Cz}(t)=0\}\right) }\)
W tym napisie występuje zmienna wolna \(t\), o której nie ma mowy w treści zadania. Co mam za nią podstawić? Zadanie w ogóle nie ma wiele wspólnego z procesem Poissona. Równie dobrze mogłyby to być długopisy produkowane w równych odstępach czasu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: a4karo »

Niech `p(n,c,r)` oznacza prawdopodobieństwo, że w `n+c+r` próbach wyprodukowano `c` długopisów czarnych i `r` czerwonych.

Twoim zadaniem jest policzyć `\sum_{n=10}^\infty [p(n,0,0)+p(n,1,0)+p(n,0,1)+p(n,2,0)+p(n,1,1)+p(n,0,2)+p(n,2,1)+p(n,1,2)+p(n,2,2)]`
Wzorki na prawdopodobieństwa znasz.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: janusz47 »

To nie jest Proces Poissona.

b).
Uwzględniamy zdarzenie przeciwne (sumowanie od 0 do 9),niezależność zdarzeń i wartości prawdopodobieństw: \(\displaystyle{ P\{(N_{C} (t)=0\}) = 0)=P(\{N_{Cz}(t) =0\}) = 1.}\) dla \(\displaystyle{ t \geq 0.}\)
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

a4karo pisze: 29 sty 2023, o 09:27 Twoim zadaniem jest policzyć `\sum_{n=10}^\infty [p(n,0,0)+p(n,1,0)+p(n,0,1)+p(n,2,0)+p(n,1,1)+p(n,0,2)+p(n,2,1)+p(n,1,2)+p(n,2,2)]`
Naprawdę nieskończona suma? Przecież dodanie tych wszystkich składników zajmie wieczność...

Wśród pierwszych dwunastu długopisów ma być dokładnie 10, 11 albo 12 niebieskich:
\(\displaystyle{ \binom{12}{10}\cdot\left(\frac12\right)^{10}\cdot\left(\frac12\right)^2+
12\cdot\left(\frac12\right)^{11}\cdot\frac12+
\left(\frac12\right)^{12}=\frac{66+12+1}{2^{12}}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: a4karo »

Mówisz, że nie zdarzy się wyprodukowanie `2000` niebieskich i dwóch innego koloru?
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Proces Poissona

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

a4karo pisze: 29 sty 2023, o 13:56 Mówisz, że nie zdarzy się wyprodukowanie `2000` niebieskich i dwóch innego koloru?
Niczego takiego nie twierdzę i nie wiem skąd Ci takie pytanie przyszło do głowy. Nie wiem po co miałbym patrzeć na \(2002\) długopisy, skoro już po dwunastu wiadomo czy warunek jest spełniony.
ODPOWIEDZ