Matematyka.pl

Firma produkuje długopisy zgodnie z procesem Poissona z intensywnością 10 długopisów na minutę. Wyprodukowany
długopis może być koloru niebieskiego z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), czarnego z \(\displaystyle{ \frac{3}{10} }\), a czerwonego z pozostałym prawdopodobieństwem. Obliczyć:

a)prawdopodobieństwo, że pierwszy wyprodukowany długopis będzie koloru czerwonego

b)prawdopodobieństwo, że wyprodukowano przynajmniej 10 długopisów koloru niebieskiego, zanim pojawił
się trzeci długopis innego koloru.

W podpunkcie a wydaje mi się, że to po prostu \(\displaystyle{ \frac{2}{10} }\), bo sam proces nic tu nie zmieni
W podpunkcie b nie wiem jak to zapisać.

b) Inaczej mówiąc, wśród dwunastu pierwszych długopisów jest przynajmniej dziesięć niebieskich. Oczywiście tu też proces Poissona nic istotnego nie wnosi.

Produkcję długopisów modelujemy jednorodnym - zliczającym procesem Poissona \(\displaystyle{ \{ N(t), \ \ t\geq 0\}. }\)

Wprowadzamy oznaczenia:

\(\displaystyle{ t_{N} }\) - czas wyprodukowania pierwszego długopisu koloru niebieskiego,

\(\displaystyle{ t_{C} }\) - czas wyprodukowania pierwszego długopisu koloru czarnego,

\(\displaystyle{ t_{Cz} }\) - czas wyprodukowania pierwszego długopisu koloru czerwonego.

\(\displaystyle{ N_{N}(t) }\) - ilość wyprodukowanych długopisów koloru niebieskiegow ciągu czasu \(\displaystyle{ t,}\)

\(\displaystyle{ N_{C}(t) }\) - ilość wyprodukowanych długopisów koloru czarnego w ciągu czasu \(\displaystyle{ t,}\)

\(\displaystyle{ N_{Cz}(t) }\) - ilość wyprodukowanych długopisów koloru czerwonego w ciągu czasu \(\displaystyle{ t.}\)


Obliczamy intensywność produkcji \(\displaystyle{ \lambda_{N}, \ \ \lambda_{C}, \ \ \lambda_{Cz} }\) poszczególnych kolorów długopisów.


Obliczamy prawdopodobieństwa zdarzeń:
a)
\(\displaystyle{ Pr\left(\{ \min ( t_{N}, t_{C}, t_{Cz}) = t_{Cz}\} \right),}\)

b)
\(\displaystyle{ Pr\left(\{ N_{N}(t)\geq 10 \wedge N_{C}(t)=0 \wedge N_{Cz}(t)=0\}\right) }\)

janusz47 pisze: ↑28 sty 2023, o 11:34 b)
\(\displaystyle{ Pr\left(\{ N_{N}(t)\geq 10 \wedge N_{C}(t)=0 \wedge N_{Cz}(t)=0\}\right) }\)

W tym napisie występuje zmienna wolna \(t\), o której nie ma mowy w treści zadania. Co mam za nią podstawić? Zadanie w ogóle nie ma wiele wspólnego z procesem Poissona. Równie dobrze mogłyby to być długopisy produkowane w równych odstępach czasu.

Niech `p(n,c,r)` oznacza prawdopodobieństwo, że w `n+c+r` próbach wyprodukowano `c` długopisów czarnych i `r` czerwonych.

Twoim zadaniem jest policzyć `\sum_{n=10}^\infty [p(n,0,0)+p(n,1,0)+p(n,0,1)+p(n,2,0)+p(n,1,1)+p(n,0,2)+p(n,2,1)+p(n,1,2)+p(n,2,2)]`
Wzorki na prawdopodobieństwa znasz.

To nie jest Proces Poissona.

b).
Uwzględniamy zdarzenie przeciwne (sumowanie od 0 do 9),niezależność zdarzeń i wartości prawdopodobieństw: \(\displaystyle{ P\{(N_{C} (t)=0\}) = 0)=P(\{N_{Cz}(t) =0\}) = 1.}\) dla \(\displaystyle{ t \geq 0.}\)

a4karo pisze: ↑29 sty 2023, o 09:27 Twoim zadaniem jest policzyć `\sum_{n=10}^\infty [p(n,0,0)+p(n,1,0)+p(n,0,1)+p(n,2,0)+p(n,1,1)+p(n,0,2)+p(n,2,1)+p(n,1,2)+p(n,2,2)]`

Naprawdę nieskończona suma? Przecież dodanie tych wszystkich składników zajmie wieczność...

Wśród pierwszych dwunastu długopisów ma być dokładnie 10, 11 albo 12 niebieskich:
\(\displaystyle{ \binom{12}{10}\cdot\left(\frac12\right)^{10}\cdot\left(\frac12\right)^2+
12\cdot\left(\frac12\right)^{11}\cdot\frac12+
\left(\frac12\right)^{12}=\frac{66+12+1}{2^{12}}}\)

Mówisz, że nie zdarzy się wyprodukowanie `2000` niebieskich i dwóch innego koloru?

a4karo pisze: ↑29 sty 2023, o 13:56 Mówisz, że nie zdarzy się wyprodukowanie `2000` niebieskich i dwóch innego koloru?

Niczego takiego nie twierdzę i nie wiem skąd Ci takie pytanie przyszło do głowy. Nie wiem po co miałbym patrzeć na \(2002\) długopisy, skoro już po dwunastu wiadomo czy warunek jest spełniony.