Matematyka.pl

Witam. Treść zadania brzmi:

Czas naprawy pewnego urządzenia ma rozkład wykładniczy. Wiadomo, że naprawa średnio trawa 4 godziny. Urządzenie jest naprawiane już 5 godzin. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że jego naprawa skończy przed upływem 6 godzin.

Nie wiem, czy prawidłowo, ale rozumuję, że można to prawdopodobieństwo wyznaczyć korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego. To, co sam policzyłem:

\(\displaystyle{ T - }\) czas naprawy urządzenia
\(\displaystyle{ T \sim exp(λ) }\)
\(\displaystyle{ E(T) = 4 \Rightarrow λ = 0,25}\)

\(\displaystyle{ A - }\) naprawa trwa więcej niż 5h
\(\displaystyle{ B - }\) naprawa trwa mniej niż 6h
\(\displaystyle{ P(B|A) = ?}\)
\(\displaystyle{ P(A) = P(T>5) = e ^{-0,25 \cdot 5} = e^{-1,25} }\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(5<T<6) = P(T>5)-P(T>6) = e^{-1,25} - e^{-1,5}}\)
\(\displaystyle{ P(B|A) = \frac{e^{-1,25} - e^{-1,5}}{e^{-1,25}} = 1 - \frac{1}{ \sqrt[4]{e} } \approx 0,22 }\)

Bardzo proszę o pomoc i podpowiedź - czy w ten sposób można zrobić to zadanie i czy rozwiązanie jest prawidłowe? Starałem się znaleźć coś podobnego w podręcznikach, do których mam dostęp, ale niestety bez rezultatu.

janusz47 pisze: ↑4 maja 2023, o 11:08 \(\displaystyle{ \Pr(\{ T<6 | T=5\}) = \Pr(\{ T<6, T = 5|T=5\}) = \Pr(\{T=5|T =5\}) =\Pr(\{ T = 5, T=5|T=5\}) = \frac{P(\{T=5\})}{Pr(\{ T=5\})} =1.}\)

???

janusz47 pisze: ↑4 maja 2023, o 11:08 \(\displaystyle{ \Pr(\{ T<6 | T=5\}) = \Pr(\{ T<6, T = 5|T=5\}) = \Pr(\{T=5|T =5\}) =\Pr(\{ T = 5, T=5|T=5\}) = \frac{P(\{T=5\})}{Pr(\{ T=5\})} =1.}\)

Czy mógłbym prosić o trochę rozjaśnienia skąd biorą się te przejścia? Wydaje mi się trywialne i intuicyjne, że prawdopodobieństwo naprawy, dla przykładu, trwającej 8h, jest niezerowe, skoro warunkiem jest \(\displaystyle{ T > 5}\). Wydaje mi się, że wynik obliczenia prawdopodobieństwa, że \(\displaystyle{ T < 6}\), jeśli naprawa trwa już 5h, wynoszący 1 (w Pana rozwiązaniu), eliminuje wszystkie dłuższe czasy, które przecież nie są niemożliwe (zerowe prawdopodobieństwo).

Korzystamy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego:

\(\displaystyle{ Pr(A|B) = \frac{Pr(A\cap B)}{P(B)} }\)

dla dwóch zdarzeń:

\(\displaystyle{ A = \{ T< 6h\}, \ \ B = \{T = 5h\}. }\)

Częścią wspólną tych zdarzeń \(\displaystyle{ A \cap B = \{ T< 6h\} \cap \{ T= 5h\} }\) jest zdarzenie \(\displaystyle{ \{ T = 5h\}. }\)

Iloraz prawdopodobieństw tego samego zdarzenia równy jest \(\displaystyle{ 1.}\)

To nie Poisson

To rozkład wykładniczy.

Dodano po 14 minutach 24 sekundach:
\(\displaystyle{ ... \frac{Pr(\{T=5\})}{Pr(\{T=5\})} = \frac{\int_{0}^{5} 0,25\cdot e^{-0,25\cdot t} dt}{\int_{0}^{5} 0,25\cdot e^{-0,25\cdot t}dt} = 1. }\)

janusz47 pisze: ↑4 maja 2023, o 17:35Częścią wspólną tych zdarzeń \(\displaystyle{ A \cap B = \{ T< 6h\} \cap \{ T= 5h\} }\) jest zdarzenie \(\displaystyle{ \{ T = 5h\}. }\)

No cóż, jeśli urządzenie zostało naprawione w 5 godzin, to nie trzeba żadnych wzorów, żeby stwierdzić, że z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) naprawa trwała mniej niż 6 godzin. Problem polega na tym, że nie tej sytuacji dotyczy zadanie.

itischrisd pisze: ↑4 maja 2023, o 08:51Urządzenie jest naprawiane już 5 godzin. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że jego naprawa skończy przed upływem 6 godzin.

JK

Naprawa skończy się przed upływem \(\displaystyle{ 6 }\) godzin, to znaczy trwała mniej niż \(\displaystyle{ 6}\) godzin.

\(\displaystyle{ T< 6.}\)

Urządzenie jest naprawiane już \(\displaystyle{ 5}\) godzin, czyli naprawa trwa przynajmniej \(\displaystyle{ 5}\) godziny. Zatem \(\displaystyle{ T>5}\), a nie \(\displaystyle{ T=5.}\)

Jest istotna różnica pomiędzy naprawiAne, a naprawiOne.

JK

Urządzenie jest już naprawiane \(\displaystyle{ 5 h, \ \ T = 5h, }\) a nie przynajmniej \(\displaystyle{ T > 5h.}\)

Może masz rację, aby zachować ciągłość zdarzeń, skoro mamy obliczyć szansę , że naprawa urządzenia skończy się przed upływem \(\displaystyle{ 6 }\)
godzin, gdy trwała już \(\displaystyle{ 5 }\) godzin.

Obliczmy więc prawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego:

\(\displaystyle{ A|B = \{ T <6 | T>5 \}: }\)

\(\displaystyle{ \Pr(A \cap B) = \Pr(\{ T<6h \} \cap \{ T>5h\}) = \Pr(\{ 5h< T<6h \}) = \Pr(\{T<6h\}) - \Pr(\{T>5h\}) = }\)

\(\displaystyle{ = \Pr(T<6h\}) - 1 + \Pr(\{T< 5h\}) = 1 - \exp(-0,25\cdot 6) -1 + 1-\exp(-0,25\cdot 5) = 1 -\exp(-1,30) -\exp(-1,25). }\)

\(\displaystyle{ \Pr(A|B) = \frac{\Pr(A \cap B}{P(B)} = \frac{1 -\exp(-1,30) - \exp(-1,25)}{1 - \exp(-1,25)} = 0,6180.}\)

Dodano po 5 minutach 20 sekundach:
Korzystaliśmy z dystrybuanty rozkładu wykładniczego \(\displaystyle{ \mathcal{W}(\lambda = 0,25).}\)

Janusz, to w końcu które z twoich rozwiązań jest prawidłowe. Bo często piszesz kilka sprzecznych ze sobą tekstów ale żadnego z nich nie komentujesz

Zostajemy, przy interpretacji prawdopodobieństwa warunkowego Jana Kraszewskiego.