Prawdopodobieństwo warunkowe test-choroba
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Prawdopodobieństwo warunkowe test-choroba
Na chorobę C cierpi 20% pewnej populacji. Istnieją dwa rodzaje testów wykrywających C. Test T1 daje wynik pozytywny u 90% chorych na C i negatywny u 80% osób bez C, natomiast test T2 daje wynik pozytywny u 75% chorych na C i negatywny u 90% chorych bez C. Przyjmujemy, że testy dają wyniki pozytywne warunkowo niezależne względem zarówno chorowania jak i niechorowania na C. Pewna osoba uzyskała wynik pozytywny testu T1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest chora na C? Jak to prawdopodobieństwo zmienia się, jeśli dodatkowo wiemy, że w teście T2 również uzyskała wynik pozytywny?
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4087
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Prawdopodobieństwo warunkowe test-choroba
Z twierdzenie Bayesa. Pierwsza część
Jako, że testy są niezależne to \(\displaystyle{ {\sf{P}}(T_1T_2|\,C)={\sf{P}}(T_1|\,C){\sf{P}}(T_2|\,C)}\). Więc wszystkie zmienne są już znane.
PS ja nie umiem p-stwa więc możliwe, że to bełkot.
\(\displaystyle{
\begin{split}
{\sf{P}}(C|\,T_1) = \frac{{\sf{P}}(T_1|\,C){\sf{P}}(C)}{{\sf{P}}(T_1|\,C){\sf{P}}(C)+{\sf{P}}(T_1|\,NC){\sf{P}}(NC)}
= \frac{ \frac{90}{100} \cdot \frac{20}{100} }{\frac{90}{100} \cdot \frac{20}{100} + \frac{10}{100} \cdot \frac{80}{100} }
= \frac{18}{26}
\end{split}
}\)
I dalej \begin{split}
{\sf{P}}(C|\,T_1) = \frac{{\sf{P}}(T_1|\,C){\sf{P}}(C)}{{\sf{P}}(T_1|\,C){\sf{P}}(C)+{\sf{P}}(T_1|\,NC){\sf{P}}(NC)}
= \frac{ \frac{90}{100} \cdot \frac{20}{100} }{\frac{90}{100} \cdot \frac{20}{100} + \frac{10}{100} \cdot \frac{80}{100} }
= \frac{18}{26}
\end{split}
}\)
\(\displaystyle{
{\sf{P}}(C|\,T_1T_2) = \frac{{\sf{P}}(T_1T_2|\,C){\sf{P}}(C)}{{\sf{P}}(T_1T_2|\,C){\sf{P}}(C)+{\sf{P}}(T_1T_2|\,NC){\sf{P}}(NC)}.
}\)
{\sf{P}}(C|\,T_1T_2) = \frac{{\sf{P}}(T_1T_2|\,C){\sf{P}}(C)}{{\sf{P}}(T_1T_2|\,C){\sf{P}}(C)+{\sf{P}}(T_1T_2|\,NC){\sf{P}}(NC)}.
}\)
Jako, że testy są niezależne to \(\displaystyle{ {\sf{P}}(T_1T_2|\,C)={\sf{P}}(T_1|\,C){\sf{P}}(T_2|\,C)}\). Więc wszystkie zmienne są już znane.
PS ja nie umiem p-stwa więc możliwe, że to bełkot.