Matematyka.pl

Dzień dobry,
Mam problem z następującym zadaniem:

Losujemy niezależnie dwie liczby \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) z rozkładu o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2x&\text{dla } 0 \le x \le 1 \\ 0&\text{dla pozostałych} \end{cases} }\)
Dzielimy odcinek \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) na 3 części:
\(\displaystyle{ \left[ 0, \min(X_1,X_2)\right] }\)
\(\displaystyle{ \left[\min(X_1,X_2), \max(X_1,X_2)\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\max(X_1,X_2),1\right]}\).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych trzech części można ułożyć trójkąt?


Zakładam, że \(\displaystyle{ \max(X_1,X_2)>\min(X_1,X_2).}\)
Zakładam następujące długości odcinków:
1. \(\displaystyle{ \min(X_1,X_2)}\)
2. \(\displaystyle{ \max(X_1,X_2)-\min(X_1,X_2)}\)
3. \(\displaystyle{ 1-\max(X_1,X_2)}\)
Żeby móc zbudować trójkąt, suma dwóch dowolnych odcinków musi być większa od trzeciego, tzn:
\(\displaystyle{ P(\min(X_1,X_2)+\max(X_1,X_2)-\min(X_1,X_2)>1-\max(X_1,X_2) \wedge
\min(X_1,X_2) +1-\max(X_1,X_2)>\max(X_1,X_2)-\min(X_1,X_2) \wedge 1-\max(X_1,X_2)+\max(X_1,X_2)-\min(X_1,X_2)>\min(X_1,X_2))=}\)
\(\displaystyle{ P(2\max(X_1,X_2)>1)\cdot P( 2\min(X_1,X_2)+1> 2\max(X_1,X_2) ) \cdot P( 1>2\min(X_1,X_2))=}\)
\(\displaystyle{ =(1-P(\max(X_1,X_2)<\frac{1}{2}))\cdot P(\min(X_1,X_2)<\frac{1}{2})\cdot P(\max(X_1,X_2)<\frac{1}{2}+\min(X_1,X_2))}\)

Wyznaczyłam rozkłady min i max, tj:
\(\displaystyle{ P(\min(X_1,X_2)<t)=2t^2-t^4}\)
\(\displaystyle{ P(\max(X_1,X_2)<t)=t^4}\)

Problem pozostaje z \(\displaystyle{ P(\max(X_1,X_2)<\frac{1}{2}+\min(X_1,X_2)).}\) Czy mogę policzyć to tak:

Niech \(\displaystyle{ \max(X_1,X_2)=u, \space \min(X_1,X_2)=v.}\) Wtedy \(\displaystyle{ P(\max(X_1,X_2)<\frac{1}{2}+\min(X_1,X_2))=P(u<\frac{1}{2}+v)=}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{1}{2}+v}4u^3(4v-4v^3) dudv}\)
?