Matematyka.pl

Witam serdecznie wszystkich forumowiczów!:)
Mam zadanie z prawdopodobieństwa, z którym sobie nie mogę poradzić:
Umieszczamy losowo 10 kul o numerach 1, 2, . . . , 10 w czterech szufladach. Oblicz prawdopodobienstwo, ze w kazdej bedzie chociaz jedna kula.
Byłabym bardzo wdzięczna za wytłumaczenie

Mamy \(\displaystyle{ 10 }\) kul ponumerowanych liczbami \(\displaystyle{ 1,2,3,\ \ ... \ \ 9,10, }\) a szuflady numerami \(\displaystyle{ 1,2,3,4 }\)

Rozmieszczenie kul w szufladach możemy opisać za pomocą uporządkowanego układu \(\displaystyle{ 10 }\) liczb \(\displaystyle{ (l_{1},I_{2}, \ \ ... \ \ l_{10}),}\) z których każda może być dowolną z liczb \(\displaystyle{ 1,2, 3, 4. }\)

Stojąca na pierwszym miejscu liczba \(\displaystyle{ l_{1} }\) podaje numer szuflady, w której znalazła się pierwsza kula, liczba \(\displaystyle{ l_{2} }\) numer szuflady, w której znalazła się druga kula, \(\displaystyle{ \ \ ..., \ \ l_{10} }\) - numer szuflady, w której znalazła się \(\displaystyle{ 10-ta }\) kula.

Przyjmijmy, zbiór wszystkich opisanych uporządkowanych układów \(\displaystyle{ (l_{1}, l_{2}, \ \ ... \ \ l_{10}) }\) to znaczy zbiór wszystkich dziesięcio-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,2,3,4 \} }\) za przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega. }\)

Przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega }\) zawiera \(\displaystyle{ 4^{10} }\) zdarzeń elementarnych. Przyporządkujmy każdemu z nich to samo prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{4^{10}}. }\)

Jeżeli mamy \(\displaystyle{ 4 }\) szuflady i chcemy, aby w każdej z nich znalazła się jedna kula, których łącznie jest \(\displaystyle{ 10, }\) to możemy otrzymać to na \(\displaystyle{ 10! }\) sposobów.

Dodano po 4 godzinach 53 minutach 52 sekundach:
Zdarzenie przeciwnym do zdarzenia \(\displaystyle{ A }\) - "w każdej szufladzie znajduje się chociaż jedna kula jest zdarzenie

\(\displaystyle{ \overline{A} }\) - "jedna szuflada jest pusta"

Wybieramy dwie kule na \(\displaystyle{ V^2_{10} = 10\cdot 9 }\) sposobów.

Wrzucamy je do wybranej na \(\displaystyle{ 4 }\) sposoby szuflady.

Z pozostałych szuflad wybieramy pustą na \(\displaystyle{ 3 }\) sposoby.

Umieszczamy pozostałe \(\displaystyle{ 8 }\) kul w \(\displaystyle{ 2 }\) szufladach na \(\displaystyle{ V^2_{8}= 8\cdot 7 }\) sposobów.

Sprzyjających konfiguracji jest więc \(\displaystyle{ 10\cdot 9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6. }\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A :}\)

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{10\cdot 9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 7}{4^{10}} \approx 0,94.}\)

Reaalizując doświadczenie losowe polegające na umieszczaniu ponumerowanych dziesięciu kul w czterech szufladach, należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 94 \% }\) ogólnej liczby wyników, w każdej szufladzie będzie chociaż jedna kula.

Do dwóch różnych wyników:
1)

janusz47 pisze: ↑10 kwie 2023, o 16:20 Jeżeli mamy \(\displaystyle{ 4 }\) szuflady i chcemy, aby w każdej z nich znalazła się jedna kula, których łącznie jest \(\displaystyle{ 10, }\) to możemy otrzymać to na \(\displaystyle{ 10! }\) sposobów.

PS
\(\displaystyle{ 10!>4^{10}}\)

***************************************************************************************
2)

janusz47 pisze: ↑10 kwie 2023, o 16:20 Dodano po 4 godzinach 53 minutach 52 sekundach:
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{10\cdot 9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 7}{4^{10}} \approx 0,94.}\)

***************************************************************************************

dorzucę trzeci (z reguły włączeń i wyłączeń):
3)
\(\displaystyle{ P= \frac{4^{10}- {4 \choose 3}3^{10} + {4 \choose 2}2^{10}- {4 \choose 1}1^{10}}{4^{10}} \approx 0,78}\)