Matematyka.pl

Ania i Bartek będą na stacji metra Centrum gdzieś między 16:00 a 17:00. Umówili się, że każde z nich poczeka na drugie maksymalnie 20 minut. Najpóźniej o 17 odjeżdżają. Jakie są szanse, że dojdzie do spotkania?

Niech \(\displaystyle{ x }\) oznacza czas liczony w minutach począwszy od godz.\(\displaystyle{ 16.00 }\) do momentu, gdy do metra Centrum przychodzi Ania.

zaś \(\displaystyle{ y -}\) czas liczony w minutach począwszy od godz. \(\displaystyle{ 16.00 }\) do momentu, gdy do metra Centrum przychodzi Bartek.

Skoro każde z nich przybywa do stacji metra do godz. \(\displaystyle{ 17.00, }\) zarówno \(\displaystyle{ x }\) jak i \(\displaystyle{ y }\) należą do przedziału

\(\displaystyle{ [0, \ \ 60 ].}\)

W takim razie punkt \(\displaystyle{ (x,y) }\) należy do kwadratu o wierzchołkach w punktach: \(\displaystyle{ (0,0), (60,0), (60,60), (0,60).}\)

Pole tego kwadratu wynosi \(\displaystyle{ |\Omega| = 60^2 = 3600 }\).

Jeśli Ania i Bartek mają się spotkać, a każde z nich czeka w stacji metra jedynie \(\displaystyle{ 20 minut,}\) to

\(\displaystyle{ |y-x| ≤ 20 }\) czyli \(\displaystyle{ -20 ≤ y-x ≤ 20,}\)

a więc \(\displaystyle{ x-20 ≤ y ≤ x+20.}\)

Oznacza to, że wówczas punkt \(\displaystyle{ (x,y) }\) leży w tej części wcześniej wspomnianego kwadratu, która znajduje się pomiędzy prostymi o równaniach:

\(\displaystyle{ y = x-20 }\) i \(\displaystyle{ y = x+20. }\)

Pole tego obszaru można obliczyć, odejmując od pola kwadratu pola dwóch trójkątów prostokątnych równoramiennych o długościach przyprostokątnych \(\displaystyle{ 40.}\)

Pole obszaru wynosi zatem \(\displaystyle{ |A| =3600-2\cdot \frac{1}{2}\cdot 40^2 = 3600-1600 = 2000.}\)

Wobec tego prawdopodobieństwo tego, że Ania i Bartek spotkają się, wynosi

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2000}{3600} = \frac{5}{9}. }\)

Proszę wykonać rysunek.