Prawdopodobieństwo geometryczne

Magic Bean · Post autor: **Magic Bean** » 8 lis 2022, o 13:42

Pan Jan otwiera sklep w niedzielę, między 8, a 9, ale tylko na 15 minut. Jasiu chce zrobić zakupy, na które idzie również w tych godzinach, ale na zakupy ma 30 minut. Jaka jest szansa, że Jasiu zastanie otwarty sklep?

Wiem, że:
\(\displaystyle{ \Omega = \{ (t_1, t_2): t_1, t_2\in \left\langle 0, 1\right\rangle \}}\)
\(\displaystyle{ t_1}\) - moment otwarcia sklepu przez pana Jana
\(\displaystyle{ t_2}\) - moment pójścia na zakupy przez Jasia
\(\displaystyle{ A}\) - Jasiu zastanie otwarty sklep

I teraz pytanie, co dalej? Jak rozpisać to \(\displaystyle{ A}\), kiedy mam podane dwie osoby z różnymi czasami, dla tego samego czasu nie mam problemu, bo np. \(\displaystyle{ |t_1 - t_2| \ge \frac14}\), ale co w takim przypadku jak wyżej?

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 9 lis 2022, o 11:42

Jeśli przez \(\displaystyle{ t_{1}, \ \ t_{1}\in [ 0,\ \ 15] \ \ min. }\) oznaczymy czas otwarcia sklepu przez Pana Jana , a przez przez \(\displaystyle{ t_{2}, \ \ t_{2}\in [0, \ \ 30] \min }\) czas przybycia Jasia, to aby Jaś mógł zrobić zakupy w sklepie, musi być spełniona nierówność:

\(\displaystyle{ |t_{2} - t_{1}| \leq 15 \ \ \min. }\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lis 2022, o 13:46

Oczywiście, że nie. Oba czasy mieszczą się w przedziale `[0,1]`, który reprezentuje godzinę między `8` i `9`. Gdy Jaś wyjedzie o ósmej, a Jan otworzy sklep o 8:20, to oczywiśćie Jaś zrobi zakupy, a różnicza czasów jest większa niż `1/4=15` min

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 9 lis 2022, o 15:34

Masz rację!

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ Pr([0, \ \ 15 \ \ min] \cap [0, \ \ 30 \ \ min ] ) \leq 15 min) }\)

Posługując się wzorem na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń, można wykazać, że wartość tego prawdopodobieństwa jest równa:

\(\displaystyle{ Pr([0, \ \ 15] \cap [0, \ \ 30]) \leq 15 min) = P(\Omega) - \frac{15}{15+30} = 1 - \frac{15}{45} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lis 2022, o 17:35

Gdzie podział się autorytet od zadań z prawdopodobieństwa? Kiedyś skrupulatnie (choć nie zawsze poprawnie) opisywałeś przestrzeń zdarzeń, zdarzenia i stosowne prawdopodobieństwa, a teraz wypisujesz jakieś znaczki bez sensu?

Niech `t_1\in [0,1]` oznacza czas (znormalizowany) otwarcia sklepu, a `t_2\in[0,1]` oznacza czas wyjścia Jasia.
Jaś będzie w stanie zrobić zakupy w dwóch przypadkach: jeżeli \(\displaystyle{ t_2>t_1-0.5}\) (czyli wtedy, gdy Jan otworzy sklep nie później niź pół godziny po wyjśćiu Jasia) oraz gdy \(\displaystyle{ t_2<t_1+0.25}\) (czyli gdy Jaś wyjdzie nie później niż kwadrans po otwarciu sklepu. )

Narysuj na kwadracie jednostkowym te obszary i policz odpowiednie pola.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 9 lis 2022, o 17:40

To nie jest dobre rozwiązanie .

Część wspólna przedziałów czasowych Jasia i Jana musi być niewiększa od \(\displaystyle{ 15 min.}\)

Nie mam się i nie miałem nigdy za jakikolwiek autorytet.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lis 2022, o 17:44

Część wspólna przedziałów czasowych zawsze będzie nie większa niż 15 minut (bo taki długi jest czas otwarcia sklepu). Jeżli zaś Jan otworzy o 8:00, a Jaś wyjdzie o 8:45, to ta część wspólna jest zero, czyli mniejsza od 15 minut, a zakupów nie zrobi.

Magic Bean · Post autor: **Magic Bean** » 9 lis 2022, o 18:22

a4karo pisze: ↑9 lis 2022, o 17:35 Gdzie podział się autorytet od zadań z prawdopodobieństwa? Kiedyś skrupulatnie (choć nie zawsze poprawnie) opisywałeś przestrzeń zdarzeń, zdarzenia i stosowne prawdopodobieństwa, a teraz wypisujesz jakieś znaczki bez sensu?

Niech `t_1\in [0,1]` oznacza czas (znormalizowany) otwarcia sklepu, a `t_2\in[0,1]` oznacza czas wyjścia Jasia.
Jaś będzie w stanie zrobić zakupy w dwóch przypadkach: jeżeli \(\displaystyle{ t_2>t_1-0.5}\) (czyli wtedy, gdy Jan otworzy sklep nie później niź pół godziny po wyjśćiu Jasia) oraz gdy \(\displaystyle{ t_2<t_1+0.25}\) (czyli gdy Jaś wyjdzie nie później niż kwadrans po otwarciu sklepu. )

Narysuj na kwadracie jednostkowym te obszary i policz odpowiednie pola.

To rozwiązanie bardziej do mnie przemawia, ponieważ uwzględnia to, że jeśli pan Jan pierwszy otworzy sklep to Jaś i tak będzie miał 15 min na zakupy, bo potem sklep zostanie zamknięty, a jeśli Jaś przyjdzie jako pierwszy to pan Jan ma 30 min na otwarcie sklepu żeby Jaś zrobił zakupy.

Narysowałam kwadrat i wyszło mi prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ 1 - (0,5 ^{3} + 0,75\cdot 0,75\cdot 0,5) \approx 0,59}\)

Matematyka.pl

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne

Re: Prawdopodobieństwo geometryczne