Matematyka.pl

Dobry wieczór,

mam do rozwiązania trudny problem i byłbym wdzięczny za pomoc

Mamy cztery liczby. Każda z nich jest generowana niezależnie na podstawie rozkładu jednostajnego dyskretnego i może przyjąć wartości od 1 do 200. Sortujemy je rosnąco. Przechodzimy do najmniejszej liczby. Jeżeli jest ona większa lub równa 100, wówczas kończymy i bierzemy tylko tę jedną liczbę. Jeżeli jest ona mniejsza od 100, wówczas dodajemy do niej drugą najmniejszą liczbę. Jeżeli suma tych dwóch najmniejszych liczb jest równa 100 lub więcej, to kończymy. Jeżeli nie, to dodajemy kolejną, itp. Jeżeli musimy dodać cztery liczby i ich suma jest mniejsza od 100, to tak czy owak dodajemy cztery liczby. Chciałbym obliczyć, jaka powinna być oczekiwana liczba liczb, którą należy zsumować, aby ich suma była równa 100 lub więcej?

Robiłem symulacje w Excelu i wyszło mi, że powinno to wyjść około 2,5. Trudno jest mi jednak dojść do tego analitycznie. Jeżeli ktoś byłby mi w stanie pomóc, byłbym bardzo zobowiązany. Nawet jeżeli miałoby to być rozwiązanie przybliżone, także będę niezmiernie zobowiązany.

pozdrawiam serdecznie
Krzysiek

Może tak:
\(\displaystyle{ P(X=1)= \frac{101}{200} \\
P(X=2)= \frac{99 \cdot 102+98+97+...+1}{200 \cdot 200} \\
P(X=3)= \frac{ {99 \choose 2} \cdot 103+ \sum_{i=2}^{98} \frac{(i+98)(99-i)}{2} }{200^3} \\
P(X=4)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)\\
\\
E(X)= \sum_{k=1}^{4}kP(X=k) }\)

Dodano po 4 godzinach 36 minutach 2 sekundach:

Krzywarp pisze: ↑24 kwie 2023, o 21:44(...) Sortujemy je rosnąco. Przechodzimy do najmniejszej liczby. Jeżeli jest ona większa lub równa 100, wówczas kończymy i bierzemy tylko tę jedną liczbę. Jeżeli jest ona mniejsza od 100, wówczas dodajemy do niej drugą najmniejszą liczbę. (...)

Zwrócono mi uwagę, za co dziękuję, że powyżej nie uwzględniłem kwestii sortowania i wybierania liczb najmniejszych. Faktycznie, przegapiłem to. Przepraszam.