Matematyka.pl

Zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y) = \left\{\begin{array}{l} c \ \ \ gdy\ \ 0 \le x \le 1 , \ 0 \le y \le 1\\2c \ \ \ gdy\ \ -1 \le x <0 , \ 0 \le y \le \frac{1}{2} \\0 \ \ \ poza\ tym \end{array}}\) . Zbadać niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) . Wyznaczyć współczynnik korelacji \(\displaystyle{ \varrho _{X,Y}}\). Obliczyć wariancję zmiennej \(\displaystyle{ Z= \ X +Y}\).

Zmienne niezależne nie są, bo
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(X \in \left[0,1\right] | Y \in \left[0,\frac{1}{2}\right] \right)>0,}\)
zaś
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(X \in \left[0,1\right] | Y \in \left[\frac{1}{2},1\right]\right)=0.}\)

Korelacja to \(\displaystyle{ \frac{\mbox{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mbox{var}(X) \mbox{var}(Y)}}}\)
i wszystkie elementy wzorku łatwo policzyć, jeżeli się sprytnie podzieli dziedzinę całkowania na dwuwymiarowe przedziały. Mamy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(XY)=\int_{\mathbb{R}^{2}}xyf(x,y)\mbox{d} x \mbox{d} y,}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{2}=\int_{\mathbb{R}}x^{2}\left( \int_{\mathbb{R}}f(x,y)\mbox{d} y\right)\mbox{d} x}\)
i tak dalej.

Mając to, ostatni podpunkt zadania staje się trywialny. Wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \mbox{var}(Z)=\mbox{var}(X)+2\mbox{cov}(X,Y)+\mbox{var}(Y).}\)