Matematyka.pl

Losujemy kolejno ze zwracaniem trzy zbiory \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) spośród \(\displaystyle{ 2^n}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,\ldots ,n\right\}}\) (za każdym razem wylosowanie każdego spośród \(\displaystyle{ 2^n}\) podzbiorów jest jednakowo prawdopodobne). Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A \cap B \cap C}\).

Doświadczenie losowe polega na kolejnym losowaniu trzech podzbiorów \(\displaystyle{ A, B, C }\) danego zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego \(\displaystyle{ \mathcal{F}.}\)

Model doświadczenia losowego \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ \mathcal{F}, P)}\)

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega = (A,B,C): A, B, C \in \mathcal{F}\} }\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = (2^{n})^3 = 2^{3n}.}\)

Zakładamy, że wylosowanie każdej uporządkowanej trójki \(\displaystyle{ (A,B,C) }\) są jednakowo prawdopodobne.

Niech \(\displaystyle{ Z_{k}, \ \ k =1,2, 3...,n }\) oznacza zdarzenie \(\displaystyle{ \{ (A,B,C): |A \cap B \cap C| = k \} }\)

Na podstawie diagramów Venna możemy stwierdzić, że jeśli \(\displaystyle{ (A,B,C) \in \mathcal F, }\) to każdy element zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{ F} }\) znajduje się w jednym z podzbiorów:

\(\displaystyle{ A \cap B \cap C, \ \ \mathcal{F}\setminus (A \cap B \cap C), \ \ (A \cap B)\setminus C , \ \ (B \cap C)\setminus A, \ \ (C \cap A)\setminus B ,\ \ B\setminus (C \cup A), \ \ C \setminus \ \ (A \cup B), \ \ A \setminus (B \cup C).}\)

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu \(\displaystyle{ Z_{k} }\) określamy w nastepujący sposób:

Wybieramy \(\displaystyle{ k}\) elementów na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów,które umieszczamy w zbiorze \(\displaystyle{ A \cap \cap B \cap C }\)

pozostałe \(\displaystyle{ n - k }\) elementów przyporządkowujemy jednemu z pozostałych \(\displaystyle{ 7 }\) podzbiorów na \(\displaystyle{ 7^{n-k} }\) sposobów.

Stąd

\(\displaystyle{ P(Z_{k}) = \frac{{n\choose k}\cdot 7^{n-k}}{2^{3^{n}}} }\)

Otrzymaliśmy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ k.}\)

Jak znaleźć jej wartość największą ?

Obliczamy iloraz prawdopodobieństw:

\(\displaystyle{ \frac{P(Z_{k+1})}{P(Z_{k})} = \frac{\frac{{n\choose k+1} \cdot 7^{n-k-1}}{8^{n}}}{\frac{{n\choose k}\cdot 7^{n-k}}{8^{n}}} = \frac{1}{7(n-k)} }\)

Rozpatrujemy wszystkie możliwości:

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) = P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k= \frac{1}{7}(7n-1)}\)

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) < P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k> \frac{1}{7}(7n-1)}\)

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) > P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k< \frac{1}{7}(7n-1)}\)

Jeśli przez \(\displaystyle{ K }\) oznaczymy \(\displaystyle{ Entier \left[ \frac{1}{7}(7n-1)\right ]}\) największą liczbę całkowitą nie większą od \(\displaystyle{ k,}\) to prawdopodobieństwo będzie największe dla \(\displaystyle{ k = K+1 = \frac{1}{7}\left(7n- 1\right )+1. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{7}(7n-1) }\) jest liczbą całkowitą, to istnieją dwie wartości \(\displaystyle{ k = \frac{1}{7}(7n-1) }\) i \(\displaystyle{ k = \frac{1}{7}\left(7n-1\right) + 1, }\) dla których prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(Z_{k}) }\) przyjmuje wartość największą.

Kompletnie nieprawdopodobne.
I zupełnie nieprzemyślane.

janusz47 pisze: ↑20 kwie 2023, o 17:14
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{7}(7n-1) }\) jest liczbą całkowitą

Rzecz w tym, że nie jest dla żadnych \(\displaystyle{ n\in \NN}\) i to wiadomo nawet bez lektury całej reszty.

Doświadczenie losowe polega na kolejnym losowaniu trzech podzbiorów \(\displaystyle{ A, B, C }\) danego zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego \(\displaystyle{ \mathcal{F}.}\)

Model doświadczenia losowego \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ \mathcal{F}, P)}\)

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega = (A,B,C): A, B, C \in \mathcal{F}\} }\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = (2^{n})^3 = 2^{3n}.}\)

Zakładamy, że wylosowanie każdej uporządkowanej trójki \(\displaystyle{ (A,B,C) }\) są jednakowo prawdopodobne.

Niech \(\displaystyle{ Z_{k}, \ \ k =1,2, 3...,n }\) oznacza zdarzenie \(\displaystyle{ \{ (A,B,C): |A \cap B \cap C| = k \} }\)

Na podstawie diagramów Venna możemy stwierdzić, że jeśli \(\displaystyle{ (A,B,C) \in \mathcal F, }\) to każdy element zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{ F} }\) znajduje się w jednym z podzbiorów:

\(\displaystyle{ A \cap B \cap C, \ \ \mathcal{F}\setminus (A \cap B \cap C), \ \ (A \cap B)\setminus C , \ \ (B \cap C)\setminus A, \ \ (C \cap A)\setminus B ,\ \ B\setminus (C \cup A), \ \ C \setminus \ \ (A \cup B), \ \ A \setminus (B \cup C).}\)

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu \(\displaystyle{ Z_{k} }\) określamy w nastepujący sposób:

Wybieramy \(\displaystyle{ k}\) elementów na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów,które umieszczamy w zbiorze \(\displaystyle{ A \cap \cap B \cap C }\)

pozostałe \(\displaystyle{ n - k }\) elementów przyporządkowujemy jednemu z pozostałych \(\displaystyle{ 7 }\) podzbiorów na \(\displaystyle{ 7^{n-k} }\) sposobów.

Stąd

\(\displaystyle{ P(Z_{k}) = \frac{{n\choose k}\cdot 7^{n-k}}{2^{3^{n}}} }\)

Otrzymaliśmy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ k.}\)

Jak znaleźć jej wartość największą ?

Obliczamy iloraz prawdopodobieństw:

\(\displaystyle{ \frac{P(Z_{k+1})}{P(Z_{k})} = \frac{\frac{{n\choose k+1} \cdot 7^{n-k-1}}{8^{n}}}{\frac{{n\choose k}\cdot 7^{n-k}}{8^{n}}} = \frac{n-k}{7(k+1)} }\)

Rozpatrujemy wszystkie możliwości:

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) = P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k= \frac{1}{8}(n-7)}\)

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) < P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k> \frac{1}{8}(n-7)}\)

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) > P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k< \frac{1}{8}(n-7)}\)

Jeśli przez \(\displaystyle{ K }\) oznaczymy \(\displaystyle{ Entier \left[ \frac{1}{8}(n-7)\right ]}\)- największą liczbę całkowitą nie większą od \(\displaystyle{ k,}\) to prawdopodobieństwo będzie największe dla \(\displaystyle{ k = K+1 = \frac{1}{8}\left(n- 7\right )+1 = Entier\left[ \frac{1}{8}(n+1)\right]. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{8}(n-7) }\) jest liczbą całkowitą, to istnieją dwie wartości \(\displaystyle{ k = \frac{1}{8}(n-7) }\) i \(\displaystyle{ k = \frac{1}{8}\left(n-7\right) + 1 =\frac{1}{8}(n+1) }\) dla których prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(Z_{k}) }\) przyjmuje wartość największą.

janusz47 pisze: ↑21 kwie 2023, o 12:29 Doświadczenie losowe polega na kolejnym losowaniu trzech podzbiorów \(\displaystyle{ A, B, C }\) danego zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego \(\displaystyle{ \mathcal{F}.}\)

Model doświadczenia losowego \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ \mathcal{F}, P)}\)

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega = (A,B,C): A, B, C \in \mathcal{F}\} }\)

Coś tu bardzo nie gra. Jeżeli \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) oznacza zbiór, którego trójki podzbiorów rozważamy - a tak wynika zarówno z opisu doświadczenia jak i z dalszych rozważań - to zapis \(\displaystyle{ A, B, C \in \mathcal{F} }\) nie ma sensu, bo `A,B,C` są podzbiorami a nie elementami zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{F} }\).

Jeżeli zaś poprawić tę definicję na \(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega = (A,B,C): A, B, C \subset \mathcal{F}\} }\), to wtedy zapis \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ \mathcal{F}, P)}\) nie ma sensu, bo w tym zapisie \(\displaystyle{ \mathcal{F} }\) oznacza ciało podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega}\).

\(\displaystyle{ |\Omega| = (2^{n})^3 = 2^{3n}.}\)

Zakładamy, że wylosowanie każdej uporządkowanej trójki \(\displaystyle{ (A,B,C) }\) są jednakowo prawdopodobne.

Niech \(\displaystyle{ Z_{k}, \ \ k =1,2, 3...,n }\) oznacza zdarzenie \(\displaystyle{ \{ (A,B,C): |A \cap B \cap C| = k \} }\)

Na podstawie diagramów Venna możemy stwierdzić, że jeśli \(\displaystyle{ (A,B,C) \in \mathcal F, }\)

To czym w końcu jest \(\displaystyle{ \mathcal{ F} }\)? Bo z tego zapisu wynika, że \(\displaystyle{ \mathcal{ F}=\Omega }\)

to każdy element zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{ F} }\) znajduje się w jednym z podzbiorów:

\(\displaystyle{ A \cap B \cap C, \ \ \mathcal{F}\setminus (A \cap B \cap C), \ \ (A \cap B)\setminus C , \ \ (B \cap C)\setminus A, \ \ (C \cap A)\setminus B ,\ \ B\setminus (C \cup A), \ \ C \setminus \ \ (A \cup B), \ \ A \setminus (B \cup C).}\)

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu \(\displaystyle{ Z_{k} }\) określamy w nastepujący sposób:

Wybieramy \(\displaystyle{ k}\) elementów na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów,które umieszczamy w zbiorze \(\displaystyle{ A \cap \cap B \cap C }\)

pozostałe \(\displaystyle{ n - k }\) elementów przyporządkowujemy jednemu z pozostałych \(\displaystyle{ 7 }\) podzbiorów na \(\displaystyle{ 7^{n-k} }\) sposobów.

Stąd

\(\displaystyle{ P(Z_{k}) = \frac{{n\choose k}\cdot 7^{n-k}}{2^{3^{n}}} }\)

To pewnie literówka, ale powinno być
\(\displaystyle{ P(Z_{k}) = \frac{{n\choose k}\cdot 7^{n-k}}{2^{3{n}}} }\)

Otrzymaliśmy funkcję prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ k.}\)

Jak znaleźć jej wartość największą ?

Obliczamy iloraz prawdopodobieństw:

\(\displaystyle{ \frac{P(Z_{k+1})}{P(Z_{k})} = \frac{\frac{{n\choose k+1} \cdot 7^{n-k-1}}{8^{n}}}{\frac{{n\choose k}\cdot 7^{n-k}}{8^{n}}} = \frac{n-k}{7(k+1)} }\)

Rozpatrujemy wszystkie możliwości:

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) = P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k= \frac{1}{8}(n-7)}\)

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) < P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k> \frac{1}{8}(n-7)}\)

\(\displaystyle{ P(Z_{k+1} ) > P(Z_{k}), }\) gdy \(\displaystyle{ k< \frac{1}{8}(n-7)}\)

Jeśli przez \(\displaystyle{ K }\) oznaczymy \(\displaystyle{ Entier \left[ \frac{1}{8}(n-7)\right ]}\)- największą liczbę całkowitą nie większą od \(\displaystyle{ k,}\) to prawdopodobieństwo będzie największe dla \(\displaystyle{ k = K+1 = \frac{1}{8}\left(n- 7\right )+1 = Entier\left[ \frac{1}{8}(n+1)\right]. }\)

Przecież `k` jest liczbą całkowitą. A ponadto `K` nie zależy od `k`, więc w tym opisie coś nie gra.

Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{8}(n-7) }\) jest liczbą całkowitą, to istnieją dwie wartości \(\displaystyle{ k = \frac{1}{8}(n-7) }\) i \(\displaystyle{ k = \frac{1}{8}\left(n-7\right) + 1 =\frac{1}{8}(n+1) }\) dla których prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(Z_{k}) }\) przyjmuje wartość największą.