Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie nadmartyngałem względem pewnej filtracji takim, że jego wartość oczekiwana jest stała w czasie. Udowodnij, że proces ten jest martyngałem.

Więc tak warunek mierzalności i całkowalność spełniony z definicji nadmartyngału. Dodatkowo skoro jest to nadmartynagał to \(\displaystyle{ E(X_{n+1}|F_{n}) \le X_{n}}\) I ja bym to obłożyła stronami wartością oczekiwaną i dostałabym \(\displaystyle{ E(X_{n+1}) \le E(X_{n})}\) A wiemy że wartosci oczekiwane są stałe więc zachodzi równość pytanie czy to jest wystarczający dowód?

A jak z tego wynika, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathcal{F}_n) = X_n}\)?

Zrobilam inaczej, policzyłam wartość oczekiwaną różnicy \(\displaystyle{ E[E(X_{n+1}|F_{n})-X_{n}]}\) I wyszła 0.

To krok w dobrą stronę, ale nadal - jak z tego wynika równość charakteryzująca martyngał?

Jeśli taka wartość oczekiwana wyszła 0 to znaczy, że \(\displaystyle{ E(X_{n+1}|F_{n})-X_{n}=0}\) "prawie na pewno" czyli \(\displaystyle{ E(X_{n+1}|F_{n})=X_{n}}\) czyli jest to martyngał.

Czyli zmienna losowa o średniej 0 jest równa 0 prawie na pewno?

W zasadzie gdy prawdopodobienstwo zdarzenia będzie symetryczne to wartość oczekiwana tez będzie równa 0, tylko jak to zapisać w tym dowodzie ?

Iza8723 pisze: ↑8 gru 2021, o 07:20 prawdopodobienstwo zdarzenia będzie symetryczne

nie wiem czy dobrze rozumiem, o co Ci chodzi. Masz na myśli, że jeśli zmienna losowa ma rozkład symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to wartość oczekiwana to \(\displaystyle{ 0}\)? No tak jest, ale niezbyt to się ma do tego zadania. Dla przykładu, standardowy rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) jest symetryczny i (więc) ma średnią \(\displaystyle{ 0}\), ale przecież nie jest równy \(\displaystyle{ 0}\) p.n.

Hmm to co jeszcze powinnam dodać do tego dowodu, bo nie mam pomysłu?

Podsumujmy. Masz w tym zadaniu \(\displaystyle{ 3}\) założenia:
a) ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n\ge 0}}\) jest nadmartyngałem, więc jest mierzalny i całkowany - użyłaś
b) średnie \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_n)}\) są takie same dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) - użyłaś
c) ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n\ge 0}}\) spełnia \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) \le X_n}\) - nie użyłaś.

Więc własnie to trzeba jeszcze dodać. Chodzi o to, że wynikanie \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = 0 \implies X = 0 \ p.n}\) nie jest prawdziwe poza szczególnymi przypadkami.

Tmkk pisze: ↑8 gru 2021, o 11:22 c) ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n\ge 0}}\) spełnia \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) \le X_n}\) - nie użyłaś.

Więc własnie to trzeba jeszcze dodać. Chodzi o to, że wynikanie \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = 0 \implies X = 0 \ p.n}\) nie jest prawdziwe poza szczególnymi przypadkami.

Tylko, w którym momencie mam to użyć, bo próbowałam z tego korzystać ale nie umiem z tego nic wywnioskować. Skoro \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) - X_n \le 0}\) z tego mogę dostać, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1}) -\mathbb{E}(X_{n})\le 0}\) ale nadal nie wynika z tego równości dla martyngału. No nie mam pomysłu jak uzyskać tą równość \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) =X_n}\)

Iza8723 pisze: ↑8 gru 2021, o 13:35 Skoro \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) - X_n \le 0}\) z tego mogę dostać, że \(\displaystyle{ \color{green}\mathbb{E}(X_{n+1}) -\mathbb{E}(X_{n})\le 0 \color{black}}\) ale nadal nie wynika z tego równości dla martyngału.

No tak, bo z innego założenia masz silniejszą rzecz, tzn. że \(\displaystyle{ \color{green}\hbox{tam}\color{black}}\) jest równość. Ale tak jak słusznie napisałaś, \(\displaystyle{ \mathbb{E}(\mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) - X_n) = 0}\). Przepiszę to na odwrót, chociaż nie ma to większego znaczenia, wydaje mi się, że będzie troszkę łatwiej. Mamy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\color{red}X_n - \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n)\color{black}) = 0}\).

Co możesz powiedzieć o zmiennej losowej, która stoi pod tą wartością oczekiwaną (zaznaczoną na czerwono)?

Tmkk pisze: ↑8 gru 2021, o 13:41 Co możesz powiedzieć o zmiennej losowej, która stoi pod tą wartością oczekiwaną (zaznaczoną na czerwono)?

Że jest większa lub równa 0, i teraz mogę powiedzieć, że skoro wartość oczekiwana z tego jest równa 0 to dostajemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) = X_n}\) Czy też nie ?

Tak, teraz tak, bo nieujemna zmienna losowa o średniej \(\displaystyle{ 0}\), jest równa \(\displaystyle{ 0}\) p.n. Jeśli chodzi o dowód tego faktu, można użyć nierówności Markowa.

Super, dzięki wielkie za pomoc