Matematyka.pl

Dzień dobry, mam problem z dokończeniem jednego zadania z martyngałów:

Niech \(\displaystyle{ (Z_n)_{n\in \NN} }\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dwupunktowym

\(\displaystyle{ P(Z_1 =1)=p \mbox{ } P(Z_1=-1)=q,}\) gdzie \(\displaystyle{ p+q=1.}\)

Niech \(\displaystyle{ S_0 = 0}\) oraz \(\displaystyle{ S_n = \sum_{j=1}^n Z_j.}\) Dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\) ciąg:
\(\displaystyle{ X_n = e^{\alpha S_n}, n\geq 0 }\) jest martyngałem względem naturalnej filtracji?

Doszedłem do momentu gdzie mam \(\displaystyle{ X_n + E(e^{\alpha Z_{n+1}}) = X_n + \frac{1}{3} e^{\alpha} + \frac{2}{3} e^{-\alpha} = X_n. }\)

Mam problem z dokończeniem tego zadania, ponieważ po podstawieniu \(\displaystyle{ t}\) za \(\displaystyle{ e^{\alpha}}\) wychodzą pierwiastki zespolone a dalej przy wróceniu podstawienia \(\displaystyle{ \alpha}\) wychodzi z logarytmem zespolonym, a tak nie powinno chyba być.

Nie rozumiem " dojścia do tego momentu "
\(\displaystyle{ E(X_{n+1}|\mathcal{F}_{n}) = E\left(e^{\alpha S_{n+1}} |\mathcal{F}_{n}\right) \ \ ...}\)

Faktycznie, powinno być mnożenie, źle przepisałem do kodu.

\(\displaystyle{ E(X_{n+1} | F_n) = E(e^{\alpha \sum_{j=1}^{n+1} Z_j}|F_n) = E(X_{n} \exp(\alpha Z_{n+1})) | F_n )= X_n E(\exp(\alpha Z_{n+1}) | F_n) =
X_nE(\exp(\alpha Z_{n+1}) = X_n(e^{\alpha}p+e^{-\alpha}q)
}\)

Podstawiam do równania, żeby "równało się" \(\displaystyle{ X_n}\), żeby ciąg był martyngałem:

\(\displaystyle{ X_n(e^{\alpha}p+e^{-\alpha}q) = X_n }\)
\(\displaystyle{ e^{\alpha}p+e^{-\alpha}q) = 1 }\)
\(\displaystyle{ pe^{2\alpha} + q = e^{\alpha}}\)

Dalej nie wiem co źle robię, ponieważ \(\displaystyle{ \alpha}\) powinna być równa 0, a tak jak mówiłem po podstawieniu \(\displaystyle{ e^{\alpha} = t}\) wychodzą zespolone.

Pyszek pisze: ↑8 sty 2023, o 21:39a tak jak mówiłem po podstawieniu \(\displaystyle{ e^{\alpha} = t}\) wychodzą zespolone.

Dlaczego?

JK

Korekta watości oczekiwanej rozkładu dwupunktowego:

\(\displaystyle{ X_{n}(e^{\alpha}\cdot p + e^{\alpha}\cdot q) = X_{n}[e^{\alpha}\cdot p + e^{\alpha}\cdot(1-p)] = X_{n} }\)

\(\displaystyle{ \alpha = \ \ ... }\)

Faktycznie, dopiero jak człowiek na forum napiszę to sam się poprawia
\(\displaystyle{ pt^2 -t +q = 0 \\
\Delta = 1-4pq > 0 \mbox{ ponieważ } p+q = 1 \implies pq\leq 0.25
}\)
Zatem mam:

\(\displaystyle{ t_1 = \frac{1+\sqrt{1-4pq}}{2p}\mbox{ lub } t_2 = \frac{1+\sqrt{1+4pq}}{2p} }\)

Dalej jednak nie mam pomysłu jak wyliczyć alfę gdy powrócę do podstawienia:
\(\displaystyle{ e^{\alpha} = \frac{1+\sqrt{1-4pq}}{2p}\mbox{ lub } e^{\alpha} = \frac{1+\sqrt{1+4pq}}{2p} }\)

Dla wartości oczekiwanej rozkładu dwupunktowego:

\(\displaystyle{ P(Z_{1} = 1) = p , \ \ P(Z_{1} = -1) = q = 1-p, }\)

\(\displaystyle{ X_{n} [1\cdot p e^{\alpha} -1 \cdot (1-p)e^{\alpha} ] = X_{n} }\)

\(\displaystyle{ (2p -1)e^{\alpha} = 1 }\)

\(\displaystyle{ \alpha = \ln\left(\frac{1}{2p-1}\right), \ \ p> \frac{1}{2}.}\)

Problem polega na tym, że rozkład nie jest postaci \(\displaystyle{ P(Z_1 = 1) = p, P(Z_1 = 0) = q }\) tylko \(\displaystyle{ P(Z_1 = -1) = q}\) dlatego przy obliczaniu wartości oczekiwanej jest \(\displaystyle{ e^{\alpha}p \mbox{ oraz } e^{-\alpha}q }\) a nie \(\displaystyle{ e^{\alpha}p \mbox{ oraz } e^{\alpha}q}\)

A jak się oblicza wartość oczekiwaną rozkładu dwupunktowego ?

\(\displaystyle{ P(Z_1 = 1) = p, P(Z_1=-1)=1-p}\)

\(\displaystyle{ E(\exp(\alpha Z_{n+1})) = e^{\alpha \cdot1} p + e^{\alpha \cdot (-1)} (1-p)}\). Tak się robi jeżeli mamy zmienną losową w potędze, czy się mylę?

Dlaczego stawiasz minus w potędze \(\displaystyle{ e^{-\alpha} }\) ? Przecież \(\displaystyle{ e^{\alpha}}\) jest stałą, którą można wyłączyć przed wartość oczekiwaną, zgodnie z własnością \(\displaystyle{ E(c X) = c E(X).}\)