Matematyka.pl

Witam, oto zadanie:

Z pudełka, w którym jest 5 kul białych i 7 kul czarnych losujemy jednocześnie 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych i jednej czarnej.

Odpowiedź to 7/22.

Dlaczego nie można tego zrobić w taki sposób?:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{5}{12} * \frac{4}{11} * \frac{7}{10}}\)

Przecież prawdopodobieństwo wylosowania 1 kuli białej to 5/12, drugiej to 4/11 i kuli czarnej to 7/10. Czy możecie mi to wytłumaczyć?-- 11 kwi 2017, o 23:02 --Zauważyłem, że jeżeli ten wynik pomnożę razy 3, to otrzymam właściwą odpowiedź. Skąd mam wiedzieć, kiedy mam mnożyć, a kiedy nie? Czy trzeba pomnożyć dlatego, że możemy wylosować te 3 kule w 3 różnych kolejnościach? (BBC,CBB,BCB)

Moim zdaniem zapisując takie rozwiązanie, robisz trochę inne zadanie (bo losujesz jakby jedna po drugiej kuli, a nie jednocześnie) i robisz to nie do końca poprawnie. U Ciebie w rozwiązaniu wygląda to tak, że najpierw losujesz białą, potem kolejną białą, a potem czarną - jedna po drugiej. Jest to niepoprawnie, ponieważ nie uwzględniasz tego, że mogłeś np. najpierw wylosować czarną kulę. Mamy takie możliwości:
\(\displaystyle{ (\text{czarna}, \text{biała}, \text{biała}), (\text{biała}, \text{czarna}, \text{biała}), (\text{biała}, \text{biała}, \text{czarna})}\)

A ja bym to robił w ogóle inaczej:
\(\displaystyle{ |\Omega|={12 \choose 3}=220}\) - losujemy trzy spośród dwunastu kul.
\(\displaystyle{ |A|={5 \choose 2}\cdot {7 \choose 1}=70}\) - losujemy dwie z pięciu kul białych i jedną spośród siedmiu kul czarnych.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)= \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{70}{220}= \frac{7}{22}}\)

Jeżeli używamy symbolu Newtona do wyznaczeniua omegi, to \(\displaystyle{ {12 \choose 3}}\) wyznacza wszystkie możliwości wyboru 3 kul w taki sposób, że tutaj mamy 5 kul białych i 7 czarnych, ale każdą jedną kulę traktujemy z osobna, czyli 5 kul białych to 5 różnych kul.

Ale dlaczego? Czy to ma znaczenie, którą białą kulę wybierzemy? Dlaczego nie uwzględnić po prostu tego że bierzemy jakąś białą kulę, nie ważne jaką? Nie do końca to rozumiem.

Jak sobie pomniejsz czarne kule, to przy Twoim sposobie liczenia policzysz \(\displaystyle{ 1,2,b}\) dwa razy. I rzeczywiście, Twój wynik jest dwa (nie trzy) razy za duży