Matematyka.pl

Urna zawiera 10 kul białych i 50 czarnych. Losujemy z niej 500 razy po 2 kule zwracając wylosowane kule po każdym losowaniu do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano nie więcej niż 150 razy parę kul różnokolorowych?

Niech \(\displaystyle{ X_i}\) zmienna losowa przyjmująca wartość \(\displaystyle{ 1}\), gdy wylosowano parę kul róznokolorowych i wartość \(\displaystyle{ 0}\), gdy kule są tego samego koloru w \(\displaystyle{ i}\)-tym losowaniu. Wtedy wszystkie \(\displaystyle{ X_i}\) mają ten sam rozkład i \(\displaystyle{ P(X_i=0)=\frac{10 \cdot 9 + 50 \cdot 49}{60 \cdot 59}}\) oraz \(\displaystyle{ P(X_i=1)=\frac{2 \cdot 10 \cdot 50}{60 \cdot 59}}\). Należy policzyć \(\displaystyle{ P(X_1+X_2+...+X_{500} \le 150)}\). Skorzystaj teraz z cetralnego twierdzenia granicznego.

Tomek, a z Bernoulliego by tego nie zrobił sprawniej?

p- prawdopodobieństwo trafienia dwóch różnych kul

q = p-1

\(\displaystyle{ P _{500} (k=150) = ( ^{500} _{150}) \cdot p ^{150} \cdot q ^{350}}\)

I wiadomo, że liczba sukcesów 151, skutkuje większym prawdopodobieństwem, bo p jest mniejsze od q.
Nasze P dla k=150, nie może być większe, aby spełniać warunek szukanej odpowiedzi?

Coś w moim poście jest nie tak, chyba sama metoda, bo trzeba znać \(\displaystyle{ \Phi (29)}\).
U Ciebie natomiast nalezy zsumować:
\(\displaystyle{ P(k=150)+P(k=149)+...+P(k=0)}\)
bo nie więcej niż 150 razy.

Ale zobacz, że nie więcej niż 150 razy, a nie sumę prawdopodobieństw wszystkich wydarzeń do k= 150.

P(k=149) jest większe od P(k=150), P(k=148) jest większe od P(k=149), chociaż jest to na logikę, ale należy zbadać monotoniczność funkcji P od k wyrazu ogólnego.

P(A)= \(\displaystyle{ ( ^{n} _{k} ) \cdot p ^{k} \cdot q ^{n-k}}\)

Ale suma prawdopodobieństw, raczej prowadzi nas do wyniku, który nie stanowi odpowiedzi na problem zadania.

Aż kurczę, zaraz sobie pokombinuję, co może wyjść z mojego sposobu. Oczywiście, traktuję to jako dyskusję, a nie rywalizację kto jest tutaj szefem

-- 23 wrz 2012, o 21:30 --

No by to tak wyglądało, że

\(\displaystyle{ p \approx 0,07}\) , więc \(\displaystyle{ q \approx 0,93}\)

P(k=500) \(\displaystyle{ \approx 0,07 ^{500}}\)

P(k=0) \(\displaystyle{ \approx 0,93 ^{500}}\)

Więc generalnie, P(A) maleje podczas, gdy k rośnie.

Zatem P(k=150) jest mniejsze od P(k=151) i P(k=149) mniejsze od P(k=150).

Więc, aby aby wydarzenie A (2 kule różnego koloru) pojawiło się nie więcej niż 150 razy
\(\displaystyle{ P(A) \ge P(k=150)}\)

Co sądzisz na ten sposób rozumowania. Wydaje się być logiczny, ale jeszcze nie czuję się zbyt pewnie w Rachunku Prawdopodobieństwa, więc mogę się mylić-- 24 wrz 2012, o 09:03 --Głupstwa napisałem, wybacz. Faktycznie, szukamy sumy
P(k=0) + P(k=1) + ..... + P(k=150)

Myślałem, że \(\displaystyle{ P(k=150)}\) oznacza, że wylosowano \(\displaystyle{ 150}\) razy kule różnego koloru.

Nie bardzo Cie teraz zrozumiałem.

Kurcze, zaciekawiło mnie ton zadanie. Znajdzie się ktoś, kto je rozwiąże?