Hej mam pytanie czy istnieje sposób na rozwiązywanie takich dystrybuant
Rozważmy problem obliczenia całkowego prawdopodobieństwa dla dwóch zmiennych losowych, \(\displaystyle{ X_1 }\) i \(\displaystyle{ X_2}\). Chcemy znaleźć prawdopodobieństwo
$$ P\left(\frac{X_1}{\sqrt{X_1^2 + X_2^2}} < t_1, \frac{X_2}{\sqrt{X_1^2 + X_2^2}} < t_2\right) $$
gdzie \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) są ustalonymi parametrami.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) mają określone rozkłady prawdopodobieństwa. Aby obliczyć to prawdopodobieństwo, musimy zintegrować dwuwymiarową funkcję gęstości prawdopodobieństwa (PDF) tych zmiennych na odpowiednim obszarze. Całkowe prawdopodobieństwo można wyrazić jako:
$$ P\left(\frac{X_1}{\sqrt{X_1^2 + X_2^2}} < t_1, \frac{X_2}{\sqrt{X_1^2 + X_2^2}} < t_2\right) = \iint\limits_{D} f(x_1, x_2) \, dx_1 dx_2 $$
gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest obszarem na płaszczyźnie \(\displaystyle{ (x_1, x_2)}\), który spełnia oba warunki, a \(\displaystyle{ f(x_1, x_2)}\) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Jak znaleźć taką funkcję?
W bardziej ogólnej formie, dla funkcji \(\displaystyle{ f_1(x_1, x_2)}\) i \(\displaystyle{ f_2(x_1, x_2)}\), chcielibyśmy obliczyć:
$$ P(f_1(X_1, X_2) < t_1, f_2(X_1, X_2) < t_2) $$
tutaj również chciałbym dowiedzieć jak się rozwiązuje takie zadania.