Matematyka.pl

Ze zbioru \(\displaystyle{ S = {1, 2, 3, ... ,2012}}\) losujemy trzy liczby i ustawiamy je w ciąg rosnący \(\displaystyle{ (a, b, c)}\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
\(\displaystyle{ A :}\) iloczyn \(\displaystyle{ abc}\) jest liczbą parzystą
\(\displaystyle{ B_{k} :}\) \(\displaystyle{ b = k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest ustaloną liczbą ze zbioru \(\displaystyle{ S}\). Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ B_{k}}\) jest największe?

Jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ A}\) to robiłem to z warunku przeciwnego, czyli, że żadna z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie jest parzysta, a odpowiedzi do \(\displaystyle{ B}\) sam jestem ciekawy, bo mój jedyny pomysł był długi i w pewnym momencie dla mnie niemożliwy (lub nie widziałem odpowiedniej możliwości ) aby go dokonczyć

Liczba możliwych losowań sprzyjających zdarzeniu \(\displaystyle{ B}\) to \(\displaystyle{ (k-1)(2012-k)}\) (bo jest \(\displaystyle{ k-1}\) liczb mniejszych od \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ (2012-k)}\) większych). Zatem nasze prawdopodobieństwo to
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{(k-1)(2012-k)}{{2012\choose 3}}}\). Prawdopodobieństwo to jest maksymalne gdy \(\displaystyle{ -k^2+2013k-2012}\) jest maksymalne, co zachodzi dla \(\displaystyle{ k=\frac{2013}2}\). Jako że \(\displaystyle{ k}\) musi być całkowite, bierzemy \(\displaystyle{ k=1006}\) lub \(\displaystyle{ k=1007}\).